物理I はねかえりの係数の問題

質問

お世話になっております。次の問題を解いてみました。解は合っているのですが、解き方に不安があるので、アドバイスいただきたく存じます。
問「一直線上を質量0.10kgの小球Aが速さ3.0m/sで右向きに進み、同じ直線上を左向きに速さ2.0m/sで進んできた質量0.20kgの小球Bと衝突した。はねかえりの係数が0.80のとき、A及びBは、どちら向きにどのような速さで進むか」
(衝突前)
Aの運動量は、0.3[kg・m/s]、この向きを正と考える。
Bの運動量は、0.4[kg・m/s]。よってこれらの運動量の和は、0.1[kg・m/s]でAとは逆向き。
(衝突後)
A、Bの衝突後の速度をそれぞれ(VA'↑)、(VB'↑)とおくと、運動量の保存の法則から、
-0.1=0.1VA'+0.2VB'…(1)

またはねかえりの係数より、
4=VB'-VA'…(2)
(1)(2)から、
VA'↑=-3m/s
VB'↑=1m/s。

以上から、小球Aは衝突前とは左向きに速さ3.0m/s、小球Bは右向きに速さ1.0m/sで運動する。

取り敢えずこうなりました。
特に私自身がはっきりしてないのは、ベクトル量とスカラー量の混同です。運動量保存の法則の定義式では、二つの物体の「速度」として扱ってますが、例題等では単にVと表記し方程式を立てている事です。これは任意に一つのベクトル量を正と定めてから、スカラー量に符号を与えるというやり方で良いのでしょうか。

質問が曖昧でしたら御指摘下さい。補足致します。何卒宜しくお願いします。

回答No.1

Quarks · ベストアンサー

問題の解答は申し分ありません。正しく解かれています。

お尋ねの件ですが、
>任意に一つのベクトル量を正と定めてから、スカラー量に符号を与えるというやり方で良いのでしょうか。

その考え方で良いです。

ベクトル量は、"大きさ"と"向き"を持った量です。
そんな量を計算式で使うためにはどのように"表現"したら良いだろうか、ということです。

"大きさ"の方は、数値で簡単に表せますが、問題は"向き"の方です。
"向き"を、数式で表すためにはどうしたら良いでしょうか。

最も単純な場合で考えましょう。
運動が、ｘ軸上　などの、一直線上での運動に限定されているなら、向きは２つに１つです。たとえば"右"か"左" かですね。このような場合、＋や－の符号で区分してやれば良いのではないか、というアイデアが考えられます。つまり、"右"向きを＋の向き、"左"向きを－の向きとしてみます。こうすれば、「右向きに50[m/s]の速度」は、＋50　という、符号付きの数値で書き表せ、計算式にも馴染みます。

もっとも、このように処理して良いかどうかは、矛盾無く事実と一致した結果を出せるかどうかに掛かっていますが、問題は無いようです。

「ベクトル量の前に付いている符号は、ベクトルの"向き"を表している」
と考えましょう。

運動が平面（更に３次元の空間）上での運動の場合には、ｘ，ｙ軸の２つの方向（ｘ，ｙ，ｚ軸の３つの方向）に運動を分解し、各軸方向の運動について、方向を、＋，－の符号で区分すれば良いでしょう。
幸い、私たちが通常使っているデカルト座標（互いに直交する、直線の座標軸で表現される）を使ったときは、各軸方向の運動は互いに独立したものとして扱えるようで、計算処理も単純になってくれるようです。

ちなみに、ベクトルを"成分"で表現する、というとき上に書いた考え方が使われています。
ベクトルＡ＝（5,3,-4) などと書くとき、
　ｘ軸方向については　＋の向きで、大きさ５
　ｙ軸方向については　＋の向きで、大きさ３
　ｚ軸方向については　－の向きで、大きさ４
という意味ですね。

数学的に厳密な言い方にはなっていないかも知れませんが、高校物理を扱う範囲でならこれで問題は無いと思います。

お礼

詳しい解説とても有り難いです。ご回答下さったことを何度か書いてきちんと理解しようと思います。

回答No.3

foomufoomu

＞特に私自身がはっきりしてないのは、ベクトル量とスカラー量の混同です。
ベクトルとスカラーが混同していると考えるより、
この問題では、２つの小球の運動は、すべて1本の直線上でしか起きないので、ベクトルのうちX成分だけを考えればよい。
この式では、たんにVという記号で書いているが、じつはVxの意味で使っている。
と、考えたほうが、すっきりするのではないでしょうか。

（心配されているように、特別な理由がないのにベクトルとスカラーを混同することはできません。）

もしも、球の衝突が、完全な正面衝突でなければ、球の軌道はX軸上だけではなくなる（斜め方向に跳ね返る）ので、Y,Z成分も考えなければなりません。

お礼

返事が遅れてしまいすいません。

私の質問文が拙かったようですいません。要はベクトルとスカラーを混同してしまう、という事でした。恐らく力学に於いては根本的な留意事項だと思いますので、少し時間かけてよく噛み砕こうと思います。
ご回答ありがとうございました。

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。
考え方もいいと思います。

＞ベクトル量とスカラー量の混同です。
特に力学の問題になると、混乱する人は多いと思います。
公式はベクトル量の関係として書かれますが、実際に計算するときには
・「水平方向と鉛直方向」のように成分分解をして、
・その方向の「正の方向」「負の方向」に『素直』に従う

これだけです。

いまの問題であれば、右向きを「正の方向」とするのであれば、
衝突前の物体の速度は、それぞれ VA＝ +3.0[m/s]、Bの速度は VB＝ -2.0[m/s]と表されます。
解いた答えが負の値であれば「左向き」ですし、正の値であれば「右向き」というだけです。

混乱しそうになった時には、
「ベクトルの成分計算をする（している）」ことを意識してみてください。

お礼

ご回答ありがとうございます。 要点だけ押さえたら、もっと事は単純に考えた方が良いみたいですね。