衝撃時間or距離の求め方

質問

重さ2,000kgのものを、速度0.5m/sでロードセル式の秤の上に載せた場合の衝撃荷重を計算しようと考えています。
調べてみると、エネルギーの公式から
F=mv/Δt=mv^2/L
という式で求められるのは分かったのですが、衝撃の時間Δtや、制動距離Lの求め方が分かりません。

精度は大して必要ではなく、結果は概算で構いません。
材質は、sus等JISで規定されているものなので、各種物理的性質は調べられます。

ヤング率をこう使えば出せる、衝撃強度をこの式に当てはめれば出せる等、必要な情報と計算の仕方があればご教示頂きたく思います。

回答No.6

superkamecha · ベストアンサー

Ｎｏ．２です。
わざわざ計算プロセスを書いてくださり恐縮ですが、すみません、目で追いかけるのは困難です。（＾＾；）
きっと合っているのでしょうけどね。
振動方程式の解をＷｉｋｉ記載のＣ・ｓｉｎ（ωｔ＋φ）の形に表した場合、Ｃ＝ｓｑｒｔ（ｈ＾２＋（ｖ／ω）＾２）となるので、実際の値がこれに一致していればＯＫです。同時にφは＝ａｒｃｔａｎ（ωｈ／ｖ）ですか。
Ｃは「振幅」なので、最大変位量はこれにｈを加えたものであることは、御高察のとうり。これに更にＫをかければ最大荷重値ですね。

それで、これと同じ結果がエネルギ方程式からも得られるのですが、
この問題の場合、エネルギ方程式は
「バネの歪エネルギ＝運動エネルギ」ではありません。
最大変位量をδとしますと、運動エネルギと同時に
「接触点からδまでの位置エネルギ」もバネの歪エネルギに変化するからです。
つまり、「バネの歪エネルギ＝運動エネルギ＋位置エネルギ」としなければならないのです。
これを式で表すと
（１／２）・Ｋ・δ＾２　＝　（１／２）・Ｍ・ｖ＾２　＋　Ｍ・ｇ・δ
という、δを未知数とする２次方程式になります。
δ＞０の条件のもとで、これを解の公式で解くと、
δ＝ｈ＋Ｃ　という、運動方程式の解による値と一致する結果が得られるはずです。
検算にご活用ください。　頑張って！

回答No.5

foomufoomu

最初の質問にもあるように、質問文に書かれた式では、　L　または　Δｔ　が計算できない。
そんな式で「解ける」といっているところがデマカセ。
解くためには、「弾性体のポテンシャルエネルギーと運動エネルギーが等しい」という考え方が必要。
この考え方は、質問分の式には、ひとかけらもない。

補足

つまり「F=mv/Δtという式を導き出した考え方からは、Δtを導き出せない(不十分)。故にこの式を導き出した理論はデマ理論である」という主張でしょうか？

逆に言えば「LやΔtが分かっている、或いは仮定で与えられているならば、この考え方でも理論的に正しい、デマ理論ではない(十分)」という事でいいですか？

ちなみに、自分がこの方程式(F=mv/Δt)調べたあるサイトでは、Lが仮定で与えられていました。

回答No.4

foomufoomu

なお、No.2 回答は、
＞Ｍｘ”＋Ｋｘ＝０（’はｔによる微分）なる自由振動方程式です。これを初期条件
＞ｘ＝ｈ、ｘ’＝－Ｖ０＝－０．５ｍ／ｓ　のもとに解けばよいわけです。
これはニュートンの運動方程式を解く方法です。
この式の完全形は
Ｍｘ”＋ｃｘ’＋Ｋｘ＋Ｗ*sign(ｘ)＝０
ｃ：粘性抵抗,Ｗ：摩擦抵抗、sign(ｘ)：Xの符号
です。これを解けば、弾性、非弾性にかかわらず、衝突時間も、刻々の位置変化(速度変化、力の変化)も分かります。（完全形は数学的に解くのは不可能です。コンピュータの数値計算が必要です）　油圧ダンパを使う場合は、厳密にはこの式を使うしかありません。

しかし、最大力を知りたいだけならエネルギーの式で十分です。運動方程式から得られる解は、エネルギーの式の弾性衝突と非弾性衝突の場合の、間のどこかになりますから、2つのエネルギー式を計算しておけば、多くの場合十分です。

回答No.3

foomufoomu

> となり、自分の調べた式と一致するのですが、これは偶然なのでしょうか？
偶然とはどういう意味でしょうか？

私の書いた式（弾性衝突の場合）も、あなたがお礼欄に書いた式も
E=1/2 * M * V^2
E=1/2 * K * L^2
が等しいことから導いたものです。まったく同じ考え方（これが正しい式）ですから、一致するのは当然です。

ただ、現実問題として、これを解いてみると、ほんもののバネを持ってこない限り、ごく小さな衝突力の場合しか実用的なものは作れません。
そこで、私が「非弾性の場合」で書いた式を使って、緩衝材（砂、油圧や摩擦ダンパ、衝撃吸収ゴム）を使ったもので作るほうが現実的なことがわかります。この場合、最大力で緩衝材が壊れることは無いので、制動距離が緩衝材の可動範囲を超えないことを確認するだけでよいです。

補足

＞偶然なのでしょうか？
＞一致するのは当然です
貴方が「デマ理論をアレンジしたもの」として否定した式[F=mv/Δt=mv^2/L]と、貴方が「正しい計算方法」として回答して下さった式が同じになったので「間違った式と正しい式が同じ式になるのは奇妙なのではないか」という意味です。

＞緩衝材（砂、油圧や摩擦ダンパ、衝撃吸収ゴム）を使ったもので作るほうが現実的
自分が今考えているのは、上記の前提条件の下「壊れないものを作りたい」のではなく、既存のものが「壊れないかを調べたい」のですので、すみませんが、自分の質問とは少しずれていますね。

回答No.2

superkamecha

２ｔｏｎもの重たい物体を十数センチの高さから落下させて、ロードセルで受け、荷重履歴のデータを取りたいんですね？　で、ダイナミックレンジが心配なのと、サンプリングタイムの妥当な設定値を割り出したいのだとお見受けしました。
記載されているＦの式は、確かにＦ＝一定の場合にのみ成立する式で、変化するＦには使えませんし、エネルギ式はＦの最大値しか求まりませんので、ここは、運動の全貌を見てみましょう。
必要なのは、ヤング率より、ロードセルとしての（マクロな）バネ定数で、これをＫとしましょう。
この場合、ロードセルはおよそ完全弾性体と見なしてよいでしょう。
すると基本的に、発生する現象は「振動」です。ロードセルはリニアバネと見なせるでしょうから、これに質量Ｍ（２ｔｏｎ）をそっと乗せると、バネはｈ＝Ｍｇ／Ｋほど撓みます。この点（接触点からｈだけ下方の点）が「つりあい点」（振動のニュートラルポイント）です。この点を座標原点（ｘ＝０）とし、上方を正とするｘ座標としますと、運動方程式は
Ｍｘ”＋Ｋｘ＝０（’はｔによる微分）なる自由振動方程式です。これを初期条件
ｘ＝ｈ、ｘ’＝－Ｖ０＝－０．５ｍ／ｓ　のもとに解けばよいわけです。
後の計算はお任せしますが、Ｖ０がゼロの場合、Ｆの最大値は＝２Ｍｇ、最大値が現れる瞬間は
ｔ＝π√（Ｍ／Ｋ）　で、ここにＶ０が存在すると、これより大きな最大値が、より早く現れることになります。

お礼

回答ありがとうございます。

wikiより、自由振動の方程式は
x(t)=Csin(ωt+φ)
　ω=sqrt(k/m)
　h=mg/k=g/ω^2

x(0)=h=mg/k=g/ω^2、x'(0)=V(0)=-0.5の場合
x(0)=Csin(φ)=h
→sin(φ)=h/C
v(0)=Cωcos(φ)=-0.5
→cos(φ)=-1/2Cω
sin2(φ)+cos2(φ)=(h/c)^2+(-1/2Cω)^2=1
→C=(1/2)*sqrt(4h^2+(1/ω))
=(1/(2*ω^2))*sqrt(4g^2+ω^3)
=(m/2k)*sqrt(4g^2+ω^3)

x(t)の最大値はCなので、F=kxより秤にかかる荷重最大値は、物体の荷重も含め
(m/2)*sqrt(4g^2+ω^3)+mg
=m(g+sqrt(4g^2+ω^3)/2)

後はばね定数kさえ分かれば求められる所まで解けました。
後は、秤に形状やヤング率を見ながら解いていこうと思います。
本当にありがとうございました。

回答No.1

foomufoomu

＞調べてみると、エネルギーの公式から
＞F=mv/Δt=mv^2/L

どこで調べたのですか？　
ネットは、この手の話は、でまかせ理論のオンパレードです。
前式も、力積を使うというデマ理論をアレンジしたものだと思います。

で、この場合の正しい計算方法は、
衝突の変形による仕事が
非弾性衝突の場合　E=F×L
弾性衝突の場合　　E=1/2*K×L^2 Kはバネ係数
と
運動エネルギー　E=1/2*M*V^2

が等しいとおいて、
弾性衝突の場合　
L=√(M*v^2/K)
F=K*L
から解きます。バネ係数は、衝突する部分にゆっくり力をかけて変形量を調べて K=F/L で求めておきます。

非弾性衝突（たとえば摩擦制動）の場合は
Fは一定（摩擦係数×垂直抗力）なので、解くまでなく
L=1/2*M*v^2/F
から、制動距離を求めます。

衝突時間は、求めるのが少々やっかいですし、ふつう求める意味がありません。（非弾性衝突の場合は、わりと簡単に求めることができますが。）

お礼

回答ありがとうございます。
ばね係数などから調べなおした結果、以下のように解けました(多少変数は変えていますが)。

弾性エネルギー:E=(1/2)*kx^2
運動エネルギー:E=(1/2)*mv^2
この式を解くとx=sqrt(mv^2/k)
フックの法則F=kxより荷重Fは
F=sqrt(mv^2k)

ばね定数とヤング率の関係から
k=YA/L
なので、
F=sqrt(mv^2*YA/L)
となる。

E[N・m]:エネルギー
k[N/m]:ばね定数
x[m]:制動距離
m[kg]:降下物の質量
v[m/s]:降下物の速度
F[N]:荷重
Y[N/m^2]:ヤング率
　※通常ヤング率の定数はEだが、エネルギーとの重複を避けるためYとする
A[m^2]:材質の断面積
L[m]:材質の長さ

p.s.
弾性衝突の場合の
E=1/2*K×L^2
E=1/2*M*V^2
F=K*L
をFについて解くと
F=mv^2/L
となり、自分の調べた式と一致するのですが、これは偶然なのでしょうか？