確立の問題

質問

以下に問題文を全文書きます

「不良率5%の製品の山から5個の製品を取り出すとき
不良品が3個含まれる確立を求めよ」

この問題なのですが、
製品が100個(不良品5個)あるとして、5個の取り出し方は100C5通り
不良品5個から3個とるのは、5C3通り
その状態で良品を2個取らなくてはならないので
不良品3個を含む5個の取り出し方は、5C3*95C2通り

結果、(5C3*95C2)/100C5としました
しかし、答えは361/320000でした

解説をお願いします_ _

回答No.1

windwald · ベストアンサー

「確率」ですね。「確立」しているのでしたら計算不要ですから。

製品が全部で何個か、など全く不要な情報です。

簡単なものから考えてみませんか？
(1)不良率5%の製品の山から1個の製品を取り出したとき、それが不良品である確率
もちろん5%で自明です。

(2)不良率5%の製品の山から2個の製品を取り出したとき、そのうち1個が不良品である確率
これはさらに言えば1個の不良品と1個の合格品ということです。
製品をとった順に不・合であるか合・不であるかです。
つまり並び順が2C1=2通りあります。(2個の製品のうち1個が不良品である「通り数」)
よってこの確率は、2C1*(5/100)*(95/100)です。

(2)不良率5%の製品の山から3個の製品を取り出したとき、そのうち2個が不良品である確率
これはさらに言えば2個の不良品と1個の合格品ということです。
3個の製品のうち2個が不良品である「通り数」は3C2=3ですね。(不不合、不合不、合不不)
ということで3C2*(5/100)*(5/100)*(95/100)がこの確率です。

では本題
(3)不良率5%の製品の山から5個の製品を取り出したとき、そのうち3個が不良品である確率
これはさらに言えば3個の不良品と2個の合格品ということです。
5個の製品のうち3個が不良品である「通り数」は5C3=10ですね。
参考までに次の10通り
不不不合合、不不合不合、不合不不合、合不不不合、
不不合合不、不合不合不、合不不合不、
不合合不不、合不合不不、合合不不不
ということで5C3*(5/100)^3 *(95/100)^2がこの確率です。

お礼

回答ありがとうございます
確立と確率・・・誤字でしたね＾＾；

具体的な個数を使ったほうが分かりやすいかなと思いそれで
考えていましたが、捕われすぎてしまっていたかもしれません
まだ全部読んでいないので、頭を整理しながら読んで見ます！

回答No.6

yyssaa

不良品3個で良品2個の確率は(0.05)^3(0.95)^2
5個から3個選ぶ選び方は5C3
よって5個取り出して、その中に3個の不良品が
含まれる確率は(5C3)*(0.05)^3(0.95)^2=0.001128125。

回答No.5

asuncion

＞一桁違うような気がします。361/3200000ではないですか？
＞もしそうだとすると、
＞(1/20)³×(19/20)²
＞の結果であるような気がします。

一桁違わなかったです。申し訳ありません。
₅C₃あるいは₅C₂
をかける必要があることを抜かしていました。
(1/20)³×(19/20)²×₅C₃=361/320000
というのが正しいような気がします。

回答No.4

linus3030

製品は無限にあって不良率５％の場合　と
１００個あって５個不良の場合ではとき方が違ってきます。

あなたは「１００個あって５個不良の場合」で解いているようですが
問題文は「不良率5%の製品の山から」となっているので
ｎ個目以後の抜き取りはそれ以前の抜き取り結果に影響されない（独立）
と考えるべきです

合格の比率　19/20
不合格の比率　1/20

５連続して
合合不不不　の順番になる確率は　（19/20）ｘ（19/20）ｘ（1/20）ｘ（1/20）ｘ（1/20）
＝３６１／（２の５乗　ｘ　１０の５乗）

他の順番もそれぞれ同じ確立ですので
５ｃ３＝１０通りぶん　確立が増えると考えればいいです。

回答No.3

asuncion

＞答えは361/320000でした

一桁違うような気がします。361/3200000ではないですか？
もしそうだとすると、
(1/20)³×(19/20)²
の結果であるような気がします。

回答No.2

asuncion

＞製品が100個(不良品5個)あるとして、

60個とか1000個とかではなく、100個と決めた理由は何ですか？

＞結果、(5C3*95C2)/100C5としました

母集団が100個だったら95とか100とかいう数値が出てきていいのかもしれませんが、
母集団が60個だったり1000個だったりしたら、別の結果になったりしませんか？
母集団の数に依存しない考え方をとる必要があるのではないでしょうか。

お礼

回答ありがとうございます
不良率は5%、というのが変わらなければ
母数はいくつでも同じだと思って具体的に100個で考えました
ご指摘を受け考え直したら・・・取り出す個数は5個と決まってるので
母数によって結果が変わってしまいますね・・・。