中3数学（濃度）の問題についての質問です。

質問

中学3年生の数字で、食塩水についての問題がわかりません。

2つのビーカーa,bに濃度10%の食塩水300グラム入っています。
まず、aの食塩水からxグラム除き、その後xグラムの水を加えました。
次にbでは、xグラムの水を加えた後、その食塩水からxグラム除きました。
その結果a,bの濃度の割合が8:9になりました。xを求めてくださいという問題なのですが全然わかりません（泣）水入れても塩の量は変わらないや、取り除いても濃度は変らない等の濃度の最低限の知識だけは理解していますので、導き方、解答を教えていただけると助かります。

よろしかったら回答お願いします(_ _;)

回答No.3

ferien · ベストアンサー

2つのビーカーa,bに濃度10%の食塩水300グラム入っています。
まず、aの食塩水からxグラム除き、その後xグラムの水を加えました。
次にbでは、xグラムの水を加えた後、その食塩水からxグラム除きました。
＞その結果a,bの濃度の割合が8:9になりました。xを求めてください

濃度＝食塩／食塩水（食塩＋水）で表すとします。１０％＝１０／１００
ａについて、はじめは
食塩＝３００×（１０／１００）＝３０ｇ
食塩水＝３００ｇ
食塩水xグラム除きから、（ｘｇ中に含まれる食塩も食塩水全体も除かれる）
食塩＝３０－ｘ×（１０／１００）＝３０－（１／１０）ｘｇ
食塩水＝（３００－ｘ）ｇ
だから、新しい濃度Ａとすると、
Ａ＝｛３０－（１／１０）ｘ｝／（３００－ｘ）
その後xグラムの水を加えましたから、（食塩水全体だけ増える）
食塩＝（３００－ｘ）×Ａ＝３０－（１／１０）ｘｇ
食塩水＝（３００－ｘ）＋ｘ＝３００ｇ
ａの濃度は
｛３０－（１／１０）ｘ｝／３００　……（１）

ｂについて、はじめは
食塩＝３００×（１０／１００）＝３０ｇ
食塩水＝３００ｇ
xグラムの水を加えたから、
食塩＝３０ｇ
食塩水＝（３００＋ｘ）ｇ
だから、新しい濃度Ｂとすると、
Ｂ＝３０／（３００＋ｘ）
その食塩水からxグラム除きましたから、
食塩＝（３００＋ｘ）×Ｂ－ｘ×Ｂ＝３００×Ｂ＝９０００／（３００＋ｘ）ｇ
食塩水＝（３００＋ｘ）－ｘ＝３００ｇ
ｂの濃度は
｛９０００／（３００＋ｘ）｝／３００　……（２）
（１）（２）より、
｛３０－（１／１０）ｘ｝／３００：｛９０００／（３００＋ｘ）｝／３００＝８：９
｛３０－（１／１０）ｘ｝：｛９０００／（３００＋ｘ）｝＝８：９

８×｛９０００／（３００＋ｘ）｝＝９×｛３０－（１／１０）ｘ｝
７２０００／（３００＋ｘ）＝９（３００－ｘ）／１０
９（３００＋ｘ）（３００－ｘ）＝７２００００
９００００－ｘ^2＝８００００
ｘ^2＝１００００
ｘ＞０より、ｘ＝１００

どうでしょうか？、何かあったらお願いします。

お礼

ありがとうございます。理解できました。
非常にわかりやすい解説で、助かりました。

また、早くにご回答していただけたのでBAに選ばさせていただきますm(_ _)m

回答No.2

wild_kit

濃度１０％（＝１０／１００）の食塩水が３００ｇですから、元々ａ，ｂには、
３００・１０／１００＝３０
３０ｇの食塩が入っています。

　ａはｘｇ除かれるのですから、食塩は元の量の（３００－ｘ）／３００になります。
ａに入っている食塩は３０｛（３００－ｘ）／３００｝ｇ

　ｂはｘｇ水を加えてから３００ｇにするのですから、食塩は元の量の３００／（３００＋ｘ）になります。
ｂに入っている食塩は３０｛３００／（３００＋ｘ）｝ｇ

　それぞれの操作後ａとｂはどちらも食塩水の量が同じになっています。
ですから濃度の比とそれぞれの食塩量の比は一致します。
ａ：ｂが８：９なので、内項の積＝外項の積を使って
http://kids.gakken.co.jp/jiten/2/20002000.html
９［３０｛（３００－ｘ）／３００｝］＝８［３０｛３００／（３００＋ｘ）｝］
２７０｛（３００－ｘ）／３００｝＝２４０｛３００／（３００＋ｘ）｝

　両辺の分母を消したいので全体に３００（３００＋ｘ）をかけます。
２７０（３００－ｘ）（３００＋ｘ）＝２４０・３００・３００＝２１６０００００
　両辺を２７０で割ります。
（３００－ｘ）（３００＋ｘ）＝８００００
９００００－ｘ＾２＝８００００
ｘ＾２＝１００００
ｘ＝１００（ｇ）

回答No.1

after-u

10％の食塩水ｘグラムに含まれる食塩の質量は0.1ｘグラムです。
aのビーカーは、もともと30グラムの食塩が含まれていましたが、0.1ｘグラムだけ、食塩が少なくなります。同量の水を加えるわけですから、食塩水の質量は変わりません。
したがって、aのビーカーの食塩水の濃度は、（30-0.1x）÷300　…　(1)　となります。100倍すれば％になりますが、比の問題なのでこのまま話を進めます。

次に、ｂのビーカーにｘグラムの水を加えますと、濃度は（30÷（300+x））×xとなります。
見にくいので　30x÷(300+x)と整理します。

ここからxグラムの食塩水を除くと、少なくなる食塩は、30（ｘ÷（300+x））となります。
これも、30x÷(300+x)と整理します。

したがって、ｂのビーカーの濃度は、（30-（30x÷(300+x)））÷300　…　(2)　となります。

計算しやすくするため、(1)(2)に300を掛けると、
30-0.1x　…　(1)’
30-（30x÷(300+x)）　…　(2)’

これが、８：９になるのですから、　(1)’×９＝(2)’×８　となります。

後は根気強く計算してみてください。分数で書けると分かりやすいのでしょうが、限界です。
たぶん、ｘ＝10　となります。