バネ-マス-ダンパモデルと反発係数について

質問

物体と物体がぶつかった時の反発の仕方は反発係数で決まると思いますが、この反発係数をバネ-マス-ダンパ要素で表すことはできるのでしょうか？

例えば、物体を地面に落下させたときの跳ね上がり量の計算には、通常、反発係数が必要だと思いますが、この反発係数を使用せずに、反発係数を二物体間に働くバネ要素とダンパ要素で表して、例えば跳ね上がり量を計算するなんてことはできるのでしょうか？

回答No.2

foomufoomu · ベストアンサー

＞ということは、バネ-マス-ダンパ要素で表すことはできないのでしょうか？
＞速度に依存するダンパ要素があっても、やはりそれら３要素で近似することは
＞不可能なのでしょうか？

運動量保存則やエネルギー保存則を使った衝突の計算、は、手抜きの計算方法であって、正式な計算方法ではありません。
正式な計算の方法は、物体の弾性係数、粘性係数、塑性係数をもとに、バネ、ダンパ、摩擦、質量からなる機構を組み立て、それに基づいた微分方程式（２階の非線型方程式）を解くことです。
普通、手計算では解けませんから（計算量が多すぎる）、コンピュータを使ったシミュレーション計算にたよることになります。
そのため、運動量保存則などの手抜き算法が、よく使われるのです。
バネとダンパと質量だけの機構であれば、衝突時にダンパで失われるエネルギーを求めて、前述の方法で解けると思います。

お礼

いろいろ教えて頂きありがとうございました。

知りたい情報に一番合致したこちらの回答をベストアンサーにさせて頂きます。

もしお手すきなときがありましたら、私がこれとは別に質問している、

なぜ鉄球よりもゴムボールの方が高く跳ねるのか？

の質問にもご回答頂ければとても有り難いです。

回答No.4

foomufoomu

>ちなみに、ご教示いただいた内容はどのような本に載っているのでしょうか。
ずばり載っている本は、おそらく、ないでしょう。
物理の本には、運動量保存則、エネルギー保存則、エネルギー損失がない場合の運動方程式、ぐらいしか載ってなくて、工学の本には、運動方程式の完全形がいきなり紹介されているような状態ですから。
たまに、よく分かった人が書いた工学書の欄外コラムなどで、今回の話のようなものが載っている程度です。

例外的に物理学と工学をつなぐような本としては、
http://www.amazon.co.jp/%E7%A7%91%E5%AD%A6%E8%80%85%E3%81%A8%E6%8A%80%E8%A1%93%E8%80%85%E3%81%AE%E3%81%9F%E3%82%81%E3%81%AE%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6-1a-R%E3%83%BB-%E3%83%BB%E3%82%B5%E3%83%BC%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%82%A4/dp/4873610745
があるぐらいです。（シリーズ４冊そろえると、けっこうな値段ですが、なにかと役に立つ、よい本です。）

お礼

ご教示頂きありがとうございます、大変助かります。
早速注文してみようと思います。有難うございました。

回答No.3

foomufoomu

追加です。
＞バネとダンパと質量だけの機構であれば、衝突時にダンパで失われる
＞エネルギーを求めて、前述の方法で解けると思います。
簡単に求まるように書きましたが、きちんと微分方程式を解かない限り、衝突時の変形が分からないので、ある程度けんとうで変形を決めて計算するしかないと思います。（これでも、いきなり反発係数が分かったようなふりをする理科の問題よりは、ずっとまともなはず）
また、これに摩擦機構が加わっていても、同じことです。摩擦で失われるエネルギーを想定するわけですが。

お礼

重ね重ねご教示頂き、大変ありがとうございます。長年の疑問が解決したとともに、かなり気分がすっきりしました。勉強させて頂きました。

ちなみに、ご教示いただいた内容はどのような本に載っているのでしょうか。「物理学」とタイトルがついたテキストなら載っているのでしょうか。それともより専門的な本にしか載っていないのでしょうか。もっと深く勉強したいと思っており、もしよろしければ教えていただけないでしょうか。

回答No.1

foomufoomu

反発係数は、物体の衝突の前後での相対速度の変化の比を表したものですが、これは衝突時に失われるエネルギーから算出可能です。

具体的には、運動量保存の法則とエネルギー保存則を連立して解くと、衝突後の速度を求めることができ、
http://homepage2.nifty.com/eman/dynamics/collision.html
そこから逆算して反発係数を求めることができます。

よく、理科の問題では、反発係数が簡単に決まるような表現がされていますが、衝突時に失われるエネルギーによって変わるものなので、衝突の速度によって反発係数は変わってきます。

補足

ご回答ありがとうございます。
ということは、バネ-マス-ダンパ要素で表すことはできないのでしょうか？速度に依存するダンパ要素があっても、やはりそれら３要素で近似することは不可能なのでしょうか？