フリードマン方程式に関する質問(1)

質問

密度パラメーターなどの条件を用いれば、平坦宇宙は最大のスケールファクタ(6.24)式で与えられるというところまではなんとかたどり着けました。しかし、
(6.25)式がどうやって出てきたのかが前のページをみてもわかりませんでした。
どなたかわかる方がいらっしゃいましたら、教えていただければ幸いです。

回答No.1

gtmrk · ベストアンサー

おはようございます。

前後を見ておりませんので断言は出来ませんが、
これは物質と宇宙定数 Λ のみを含む（放射と曲率の項が無い）場合の
フリードマン方程式についての議論ですよね？

だとすればその方程式は解析的に解けて、
スケール因子 a が時間 t の関数として求まるはずです。

求まる関数 a(t) は比較的簡単な形をしていますから、
その極大値が (6.24) であることも、
a(t) = 0 を満たす t が (6.25) であることもすぐにわかります。

例によって計算過程をガリガリ書いてみたのでよろしければどうぞ。
ポイントはこの前と同じく置換積分ですね。

参考URL：

http://riion.web.fc2.com/2011_12_08.html

補足

こんばんは。
条件がわかりにくくてすみません。今回は物質と宇宙定数 Λ のみを含む（放射と曲率の項が無い）場合のフリードマン方程式を考えています。
(2)式は逆関数の微分になっているのでしょうか。そこのところがよくわかりません。
またパラメータθの積分区間が0からθになるのはどうしてなのでしょうか。

回答No.2

gtmrk

こんばんは。

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>(2)式は逆関数の微分になっているのでしょうか。

いえ、そうではありません。
(2)式は(1)式を da/dt = の形に変形しただけです。
で、この(2)式は a についての微分方程式になっていますよね？
つまり『このままでは手がつかない』のです。

そこで思いつくのが、逆関数の微分です。
a(t) の『逆関数』は t(a) ですが、その微分 dt/da には

　　dt/da = 1 / (da/dt)

を満たすという性質があります。
たとえば、y = exp(x) の逆関数 x = log(y) の微分 dx/dy は、

　　dx/dy = 1 / (dy/dx) = 1 / (exp(x)) = 1 / y

などとなります（log の微分公式です）。

今、(2)式の右辺は da/dt ですから、その『逆数』（逆関数ではく、単純な逆数です。）
をとったものは dt/da に等しくなり、結果(3)式が導かれます。

da/dt をただの分数だと見てしまうと、(3)式は(2)式の両辺を
ひっくり返しているようにしか見えませんよね？
しかし実際は逆関数の微分の性質を使っていますよ、
ということを申し上げていたわけですね。

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>またパラメータθの積分区間が0からθになるのはどうしてなのでしょうか。

よいところに気がつかれましたね＾＾；

まず、a の積分範囲が [ 0 → a ] となっているところから考えます。
下限の 0 は定数なのですが、上限の a は定数ではありません。これは【変数】です。
要するに、この積分は実は半分【不定積分】なのですね。

ということで、θ に変数変換した際も下限は決める必要がありますが
上限は決めずに、積分変数 θ としておけばよいわけです。

お礼

補足してくださりありがとうございました。
よく理解できたと思います。
やはりよく予習しておくと授業の理解度も全然違いますね。
お礼が遅くなりましてすみませんでした。