滑車と張力

質問

図のような状態があります。
ここで、物体Ｂの運動方程式は、ma=mg-T　（右に動いているとします）
ですが、物体Aの運動方程式はどうなりますか？
つまり、左側の物体と、物体Ｂには張力Ｔがかかりますが、
Ａにかかる張力を知りたいんです。

また、この物体系の運動方程式はどうなりますか？

回答No.1

noname#185706 · ベストアンサー

左の物体を吊るす糸と物体Ｂを吊るす糸は別の物ですから、滑車の左右で糸の張力が同じである場合でも、Ｂに働く張力は一般には T になりません。それを T' とすると
Ｂの運動方程式は
m a = m g - T' 。　(1)
Ａの運動方程式は
m a = m g + T' - T 。　(2)
左の物体の運動方程式は
M a = T - M g 。　(3)
(1)+(2)より
2 m a = 2 m g - T 。　(4)
これはＡとＢを一体のものと見た場合の式です。この場合、T' は内力と見なせますから式に現れません。
(3)+(4)より
(M + 2 m) a = (2 m - M) g 。　(5)
(5)は、全質量 M + 2m の物体が、正味の（右回り方向の）重力 (2 m - M) g を受けて運動することを表しています。この場合、T も T' も内力ですから、式に現れません。
(5)から
a = {(2 m - M)/(M + 2 m)} g 。　(6)　
これを(4)に代入して整理すると
T = {4 M m /(M + 2 m)} g 。　(7)
同様に(6)を(1)に代入して
T' = {2 M m /(M + 2 m)} g 。　(8)

なお
T = 2 T'
となっていますが、このことは(1)と(4)から導くこともできます。Ａ＋ＢはＢの2倍の質量を持つので、同じ加速度 a （0 も含む）を生じるためには2倍の張力が必要になるわけです。

お礼

非常に分かりやすかったです。
ありがとうございました。

回答No.3

sanori

こんにちは。

左の物体をＣと呼ぶことにします。

物体Ａ，Ｂ，Ｃに働く力をそれぞれ　Ｆa、Ｆb、Ｆc　と置きます。

物体Ａ，Ｂ，Ｃの加速度をそれぞれ　ａ、ｂ、ｃ　と置きます。

Ａ－Ｂ間の糸の張力をＴ’と置きます。

下方向をプラスとします。

糸はたるまないと考えてよいので、
ａ＝ｂ＝－ｃ　　・・・（あ）
Ｆa　＝　ｍａ　＝　ｍｇ － ｜Ｔ｜ ＋ |Ｔ’|　　・・・（い）
Ｆb　＝　ｍｂ　＝　ｍｇ － |Ｔ’|　　・・・（う）
Ｆc　＝　Ｍｃ　＝　Ｍｇ － |Ｔ|　　・・・（え）

張力に絶対値記号をつけていますが、これは考え方を簡単にするためです。
たとえば、Ａに働くＴ’の方向とＢに働くＴ’の方向は逆なので、頭がこんがらかりますので。

（あ）を（い）、（う）、（え）に代入して、
Ｆa　＝　ｍａ　＝　ｍｇ － ｜Ｔ｜ ＋ |Ｔ’|　　・・・（い’）
Ｆb　＝　ｍａ　＝　ｍｇ － |Ｔ’|　　・・・（う’）
Ｆc　＝　－Ｍａ　＝　Ｍｇ － |Ｔ|　　・・・（え’）

以上、（い’）、（う’）、（え’）の３式が運動方程式となります。（完成）

簡単な連立方程式です。
式が３本あって、求める値が ａ、|Ｔ|、|Ｔ’|　の３つなので、全部ぴったり求まります。

ちなみに、|Ｔ|　と　|Ｔ'|　の関係は、（い’）－（う’）　より
０　＝　－|Ｔ|　＋　２|Ｔ’|
|Ｔ’|　＝　|Ｔ|／２

お礼

どことどこの張力が等しくなるのか
それが一番の疑問でしたが、おかげで解消しました。
ありがとうございました。

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。

＞つまり、左側の物体と、物体Ｂには張力Ｔがかかりますが、
＞Ａにかかる張力を知りたいんです。
この疑問（考え方）は、非常にいいと思います。
張力は、糸でつながれた両端の物体に働いているので、連立していかないと求められませんね。
そのためには、それぞれの運動方程式を書き下していく必要があります。
物体「系」というよりも、「Ａ, Ｂそれぞれについて」ですね。
張力は、Taや Tbというように添え字にしてもいいと思います。

＞物体Ｂの運動方程式は、ma=mg-T　（右に動いているとします）
正確には、「物体Ｂが下に動く向きを正としている」ということですね。
もし、加速度：aが負になれば、上に動いていることになります。

＞T = 2 T'
添え字で書けば Ta＝ 2 Tbですが、一見関係なさそうな 2つの張力の関係が見えてきます。
そして、#1さんも最後に書かれているように、これはごく当たり前のことであることもわかると思います。
ここが単なる計算だけでない「物理的な解釈」という部分になります。＾＾

お礼

この件を通じて理解が深まった気がします。
ありがとうございました。