集合論の初歩的な質問(順序数について)

質問

集合論の初歩的な質問をします。だれかコメントあれば下さい。竹内外史著『集合とはなにか』(講談社・ブルーバックス)に書かれていることについてです。第3章での、順序数に伴って、できる集合の説明の箇所です。

この本で、順序数3ができるとき、その時点で、『新しく』、出来る集合は、以下と書かれています。(新装版以前の本の101頁の表)
{{1}}, {2}, {0,2}, {1,2}
上記のように書かれています。

しかし、、順序数3ができるとき、その時点で、『新しく』、出来る集合は、上記の集合の他に、下記の集合も、その時点で存在するのではないか私は思います。即ち、

{{1},1}, {2,{1}}, {2,{1},1}, {0,{1}}, {0,{1},1}, {0,2,{1}}, {0,2,{1},1}

たぶん、本のタイプミスのではないか、と私は思っているのですが、私の勘違いかも知れません。この件が、以前より気になっているものですから、この機会に訊いておきたいと思ってます。

誰か、コメントあれば、ください。この本は、新装版があり、この新装版では、この箇所が、どのように書かれているかは確認はしていません。

回答No.1

akatsuki_0 · ベストアンサー

数学の専門家ではないので、素人意見になります。私が持ってるのは新装版ですが、記述はほぼ同じだと思います。p.101の表には{{1}}, {2}, {0,2}, {1,2}, 3 という5つの集合がのってます。これで全部だとは書いてないですが、少々ミスリーディングに思えますね。
ちなみに、p.102には「第n段階になるまでに出きている集合の数は2^''2}-1 (n>0とする n=0のときは0とする)です」とあります（きちんとタイプできなくて済みません）。nに3を代入するとこれは16で、第2段階までに4つ出きているので、第3段階では新たに12個の集合ができることになります。著者は5つの例を挙げていて、質問者さんは7つ挙げているので、数が合いますね。

お礼

遅い、御礼のresですみません。
確かに著者は、これで全部とは書いていませんね。
全部書くのは煩雑で止めたのだと私も推測します。

どうも、ありがとうございました。