特性方程式に指数関数が入る場合の極を求める方法

質問

MATLABで特性方程式に指数関数が入る場合の極を求めたいと考えています。
例えば、s^2+s+1+exp(-s)=0のような方程式です。

特性方程式が多項式のみで構成されていないので、
poleコマンド、eigコマンド、rootsコマンドなどは使えません。
ですから、特性方程式を数値計算で解かなければなりません。

ニュートン法で解く場合、初期値を指定して、その周りにある解を探索します。
しかし、特性方程式に指数関数が入りますと、解が無限個あり、
しかも、原点に行くほど極配置が密になるので、
どのように初期値を設定すれば良いか分かりません。
現在は、複素平面上においてメッシュ状に初期値を指定しているため、
探索に非常に時間がかかるうえ、極の取りこぼしがあるかもしれません。

また、多次元のシステムを考える場合、極がどのあたりにあるのか見当をつけること難しいため、
複素平面上をしらみつぶしに調べなければならず、得られた極配置の信頼性が乏しく感じます。

何か、良いアイデアはないでしょうか。
ぜひともご教示頂ければ幸いです。

回答No.2

ICE_FALCON · ベストアンサー

↓でfsolve を提案したものです。
http://okwave.jp/qa/q7125013.html

それは難しいと思いますよ。
どうしてもって言うんならexpをやめることです。
範囲を絞って近似式にすれば中りはつけられるかも。

しかし、そこまでの厳密解が必要ですか・・・

ちなみに前の質問の回答 ちょと間違ってたね
今気づいた・・・。

お礼

回答ありがとうございます。

fsolveは持っていないので、フリーのニュートン法のソルバを使っています。

expをテーラー展開して近似する方法も考えてみたのですが、
かなり高次まで展開しないと、実際の極配置とかなり違うものになってしまいました。

厳密解は必要ありません。
探索範囲を広範囲にし、計算時間を短縮するために初期値を粗く指定すると、
あからさまに、取りこぼしが発生してしまいます。
そこで、取りこぼしが少なく、
計算時間も短くて済む方法がないかと思い、質問致しました。

計算時間さえ多めに取れば、おっしゃった方法でバッチリ極を求めることができます。
とりあえず、自動化して一晩計算させてみることにします。

回答No.1

Knotopolog

MATLAB は使ったことがありませんが，

以下のような方法は，どうでしょうか．
下記のサイト：Wolfram|Alpha を使います．

WolframAlpha Computational Knowledge Engine
http://www.wolframalpha.com/

試しに，
例題．s^2＋s＋1＋exp(－s)＝0
を解いてみました．
その結果，

s ≒ －0.0749293－1.16468 i.
s ≒ －0.0749293＋1.16468 i.

です．
極は，z＝s^2＋s＋1＋exp(－s)　を s で微分して，0 と置き，

dz/ds＝2s＋1－exp(－s)＝0

2s＋1－exp(－s)＝0

の式を　WolframAlpha　で解くと，

s＝0

を得ます．

s^2＋s＋1＋exp(－s)＝0
により，

s^2＋s＋1＋exp(－s)＝0^2＋0＋1＋exp(0)＝
＝0＋0＋1＋1＝2

つまり，s＝0　のとき，s^2＋s＋1＋exp(－s)＝2 が極となります．

補足

回答ありがとうございます。

Wolfram|Alphaという便利なものがあるのですね。
ただ、
s^2＋s＋1＋exp(－s)＝0
の解は、
s ≒ －0.0749293－1.16468 i.
s ≒ －0.0749293＋1.16468 i.
だけでなく、もっとたくさんあるはずです。

また、誤解を招く表現をしてしまった私が悪いのですが、
s^2＋s＋1＋exp(－s)の極値を求めたいわけではありません。
実数の範囲に限って言えば、
y=s^2＋s＋1＋exp(－s)
と
y=0
のグラフの交点を求めたいわけです。
ただ、今回は実数の範囲だけでなく複素数の範囲で解を求めたいのです。