等式(＝)と非等式(≠)に関する四則演算
等式(＝)に関する四則演算は，加法に関して，
● 交換法則： a+b=b+a，
● 結合法則： (a+b)+c=a+(b+c)，
● 簡約法則： a+c=b+c ⇔ a=b
であり，乗法に関しては，
■ 交換法則：ab=ba，
■ 結合法則：(ab)c=a(bc)，
■ 分配法則：a(b+c)=ab+ac, (a+b)c=ac+bc
■ 簡約法則：ac=bc ⇔ a=b
ですが，それでは，非等式(≠)に関する四則演算は，加法に関して，
▲ 交換法則： a+b≠c+d ⇔ a+b≠d+c, b+a≠c+d
▲ 結合法則： (a+b)+c≠d+(e+f)，
▲ 簡約法則： a+c≠b+c ⇔ a≠b
乗法に関しては，
▼ 交換法則：ab≠cd ⇔ ab≠dc, ba≠cd
▼ 結合法則：(ab)c≠d(ef)，
▼ 分配法則：a(b+c)≠ad+ae, (a+b)c≠dc+ec
▼ 簡約法則：ac≠bc ⇔ a≠b
のようになると考えられますが・・・？？？
上記の▲と▼については，まだ証明していません．
では，この非等式(≠)に対する「結合法則」，「交換法則」，
「分配法則」，「簡約法則」に関しての数学理論はありますか？
書物か雑誌記事をご存じの方，教えて下さい．
なお，「非等式」なる用語は正式なものではありません．この場での造語です．
