数学です。

質問

☆さいころを４回投げる時、３の倍数の目が出る回数の期待値を求めよ。

☆一個のさいころを投げて、１の目が出ると１００円、６の目が出ると２００円をそれぞれ支払い、それ以外の目がでたときは１５０円もらえることを約束した人は得をするといえるか？

この二問、解答してくれたらうれしいです。

回答No.4

yyssaa · ベストアンサー

改めて回答します。
☆説明をしやすくするために、問題を４個のサイコロ（Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ）
　を同時に１回投げたときの３又は６の目が出るサイコロの個数の期待値
　と読み替えます。
（１）４個のサイコロの目の組合せは全部で６×６×６×６＝１２９６通
　　　りです。
（２）Ａが３でＢ、Ｃ、Ｄが３と６以外となる組合せは４×４×４＝６４
　　　通りです。
　　　同様にＢが３でＡ、Ｃ、Ｄが３と６以外となる組合せも４×４×４
　　　＝６４通りです。
　　　ＣとＤについても同じであり、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄのいずれか一つが３
　　　で残りは３と６以外となる組合せは全部で６４×４＝２５６通りで
　　　す。
　　　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄのいずれか一つが６で残りが３と６以外となる組合
　　　せも同数であり、４個のサイコロの内の一つだけが３の倍数（３又
　　　は６）となる組合せの数は２５６×２＝５１２通りとなり、この組
　　　合せが生じる確率は５１２÷１２９６・・・（式１）となります。
（３）次にＡとＢが３でＣとＤが３と６以外となる組合せは４×４＝１６
　　　通りです。ＡとＢが６でＣとＤが３と６以外となる組合せも４×４
　　　＝１６通りです。
　　　Ａが３でＢが６でＣとＤが３と６以外となる組合せも４×４＝１６
　　　通りです。同じくＡが６でＢが３でＣとＤが３と６以外となる組合
　　　せも４×４＝１６通りです。
　　　以上からＡとＢが３又は６でＣとＤが３と６以外となる組合せの数
　　　は、１６×４＝６４通りとなります。
　　　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄから２個を選ぶ選び方はＡとＢ、ＡとＣ、ＡとＤ、
　　　ＢとＣ、ＢとＤ、ＣとＤの６通りであり、どの組合せについても二
　　　つが３又は６で残りの二つが３と６以外となる組合せは６４通りな
　　　ので、４個のサイコロの内の二つだけが３の倍数（３又は６）とな
　　　る組合せの数は６４×６＝３８４通りとなり、この組合せが生じる
　　　確率は３８４÷１２９６・・・（式２）となります。
（４）次にＡ、Ｂ、Ｃの３個が３でＤが３と６以外となる組合せは４×１
　　　＝４通りです。同じくＡ、Ｂ、Ｃの３個が６でＤが３と６以外とな
　　　る組合せも４通りです。
次にＡとＢが３でＣが６でＤが３と６以外となる組合せも４通りで
　　　す。
　　　同じくＡとＣが３でＢが６でＤが３と６以外となる組合せも４通り
　　　です。
　　　同じくＢとＣが３でＡが６でＤが３と６以外となる組合せも４通り
　　　です。
　　　次にＡとＢが６でＣが３でＤが３と６以外となる組合せも４通りで
　　　す。
　　　同じくＡとＣが６でＢが３でＤが３と６以外となる組合せも４通り
　　　です。
　　　同じくＢとＣが６でＡが３でＤが３と６以外となる組合せも４通り
　　　です。
　　　以上からＡとＢとＣが３又は６でＤが３と６以外となる組合せの数
　　　は、４×８＝３２通りとなります。
　　　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄから３個を選ぶ選び方は１個の除き方と同じで４通
　　　り（ＡとＢとＣ、ＡとＢとＤ、ＡとＣとＤ、ＢとＣとＤ）であり、
　　　どの組合せについても三つが３又は６で残りの一つが３と６以外と
　　　なる組合せは３２通りなので、４個のサイコロの内の三つが３の倍
　　　数（３又は６）で残りの一つが３と６以外となる組合せは３２×４
　　　＝１２８通りとなり、この組合せが生じる確率は１２８÷１２９６
　　　・・・（式３）となります。
（５）最後にＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４個のサイコロの目が全て３となる組合せ
　　　は１通り、同じく６となる組合せも１通りであり、４個が全て３の
　　　倍数（３又は６）となる組合せは１×２＝２通りとなり、この組合
　　　せが生じる確率は２÷１２９６・・・（式４）となります。
　　　　以上より３の倍数の目が出る個数の期待値は、３の倍数のサイコ
　　　ロの数（１個～４個）のそれぞれに（式１）～（式４）の発生確率
　　　を掛けた値を合計して
　　　１×（５１２÷１２９６）＋２×（３８４÷１２９６）
　　　＋３×（１２８÷１２９６）＋４×（２÷１２９６）
　　　＝１６７２÷１２９６≒１．２９となります。
　　　　問の答としては、さいころを４回投げる時、３の倍数の目が出る
　　　回数の期待値は約１．２９回ということになります。

☆１から６のいずれの目が出る確率も１／６なので、期待値は
　（－１００）×１／６＋１５０×１／６＋１５０×１／６
　＋１５０×１／６＋１５０×１／６＋（－２００）×１／６＝
　（－１００＋１５０×４－２００）／６＝３００／６＝５０となり、
　得をするといえます。

以上です。

お礼

こんなに長く書いてくれてありがとうございます！！

分かりやすかったです！m(__)m

また、よろしくお願いします

回答No.6

yyssaa

誤った回答が含まれているようです。さらに別の方から正しい回答を求められるよう希望します。

お礼

そ　そうなんですか？？(・・;)

それでは、また自分で考えてみます。。。

どうも知らせていただき、有難うございます。

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

No.4 ですが

(5) は 2通りではなく16通りなので結局全体の期待値は
4/3回ですね。

つまり

１回あたりの期待値 X 回数(4) = ４回あたりの期待値です。

お礼

ありがとうございますっっ(T_T)

助かりました！
またよろしくです。

回答No.3

yyssaa

すみません。１問目の回答を間違えました。正解が得られたら、改めて回答します。

お礼

全然いいですよっ(^^ゞ

その気持ちだけで十分です！！

ありがとうございました。

回答No.2

yyssaa

☆説明をしやすくするために、問題を４個のサイコロ（Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ）を同時に１回投げたときの
３又は６の目が出る個数の期待値と読み替えます。
（１）４個のサイコロの目の組合せは全部で６×６×６×６＝１２９６通りです。
（２）Ａが３でＢ、Ｃ、Ｄが３と６以外となる組合せは４×４×４＝６４通りです。
　　同様にＢが３でＡ、Ｃ、Ｄが３と６以外となる組合せも４×４×４＝６４通りです。
　　ＣとＤについても同じであり、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄのいずれか一つが３で残りは３、６以外
　　となる組合せは全部で６４×４＝２５６通りです。
（３）Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄのいずれか一つが６で残りが３、６以外となる組合せも同数であり、
　　４個のサイコロの内の一つだけが３の倍数となる組合せは２５６×２＝５１２通りとなり、
　　この組合せが生じる確率は５１２÷１２９６となります。
（４）次にＡとＢが３でＣとＤが３と６以外となる組合せは４×４＝１６通りです。
　　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄから２個を選ぶ選び方はＡとＢ、ＡとＣ、ＡとＤ、ＢとＣ、ＢとＤ、ＣとＤの
　　６通りであり、どの組合せについても残りの二つが３と６以外となる組合せは
　　４×４＝１６通りとなるので、４個のサイコロの内の二つが３で残りの二つが３と６
　　以外となる組合せは全部で１６×６＝９６通りになります。
（５）６の目についても同じことが言えるので、４個のサイコロの内の二つだけが３の倍数
　　となる組合せは９６×２＝１９２通りとなり、この組合せが生じる確率は１９２÷１２９６
　　となります。
（６）次にＡ、Ｂ、Ｃの３個の目が３でＤが３と６以外となる組合せは４×１＝４通りです。
　　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄから３個を選ぶ選び方は１個の除き方と同じで４通りであり、４個の
　　サイコロの内の三つが３で残りの一つが３と６以外となる組合せは全部で４×４＝１６
　　通りになります。
（７）６の目についても同じことが言えるので、４個のサイコロの内の三つだけが３の倍数
　　となる組合せは１６×２＝３２通りとなり、この組合せが生じる確率は３２÷１２９６
　　となります。
（８）最後にＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４個のサイコロの目が全て３となる組合せは１通り、同じく６と
　　なる組合せも１通りであり、４個が全て３の倍数となる組合せは１×２＝２通りとなり、
　　この組合せが生じる確率は２÷１２９６となります。
以上より３の倍数の目が出る個数の期待値は１×（５１２÷１２９６）＋２×（１９２÷１２９６）
＋３×（３２÷１２９６）＋４×（２÷１２９６）＝１０００÷１２９６≒０．７７１６となります。

☆１から６のいずれの目が出る確率も１／６なので、期待値は
　（－１００）×１／６＋１５０×１／６＋１５０×１／６＋１５０×１／６＋１５０×１／６＋
　（－２００）×１／６＝（－１００＋１５０×４－２００）／６＝３００／６＝５０となり、得をする
　といえます。

お礼

こんなに長い解説ありがとうございます(T_T)

こんなわたしのために。。。

またよろしくお願いします！

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

1) 3の倍数の目は 3, 6 だから１回あたりの期待値は 1/3回。４回では 4/3回
2) 100 x 1/6 + 200 x 1/6 - 150 x 4 / 6 = (100 + 200 - 600) / 6 = - 300 / 6 = -50 ⇒ 損

お礼

ありがとうございます！！！

助かりました＾ー＾