期待値の求め方

質問

2つのさいころを振る。
出た目の和がはじめて６の倍数になるまで振るとき、その回数の期待値を求める

２つのサイコロを1回ふって出た目の和が
６の倍数になるのは
(3,3)(2,4)(4,2)(5,1)(1,5)(6,)
6/36=1/6

ですが、
期待値はどのようにしてもとめるのですか？
詳しくお願いします

回答No.5

kony0

マルコフ連鎖的思考が好みなkony0です。

この問題だと、
「現状和が６の倍数でないとき、（６で割った余りに関係なく）サイコロを１回振って６の倍数になる確率は1/6、６の倍数にならない確率は5/6」となることに着目すれば解けます。

つまり、n-1回連続で確率5/6の事象が発生し、その後に確率1/6の事象が発生することを考えればよいわけです。

これで、ちょうどｎ回目で条件を満たす確率が求められました。これをp(n)とおくと、期待値はもちろん
Σ(n=1,2,3,...)n*p(n)ですね。

ちなみに、今回とは関係ないですが、出た目の「積」がはじめて６の倍数になるまで振るときを考えると、なかなか条件の整理が難しい問題になります。
ちょうどｎ回目ではじめて積が６の倍数になる確率は、
(1/2)*(2/3)^n - 2*(1/3)^n + (1/2)^n
となります。余力があればチャレンジしてみてください。

回答No.4

gimpei

ちょっと私が誤解しているようで、大変
失礼しました。「６」だと思ってましたが、
「６の倍数」ですね。ですと、６が５通りで
１２が１通りですので、６通りですね。
確率は１／６であってます。

Ｎ回目に６の倍数が出る確率は

(１－１／６)＾(Ｎ－１)×１／６

となります。これで回答１と同じになるので、
質問者の混乱も避けられますでしょうか。

回答No.3

damejan

#2さんへ。
＞期待値というのは任意の試行によって得られる結果の
平均であって

おっしゃる通りです。そして、pami97さんの質問の場合、
任意の試行は「目の和がはじめて６の倍数になるまで振る」であり、結果は「そのときの回数」です。

この時の結果の期待値、まさに「回数の期待値」を求めたいと言っているわけです。

回答No.2

gimpei

期待値というのは任意の試行によって得られる結果の
平均であって、ある結果を得るための試行の回数の
平均ではないと思うのですが。

この実例の場合、１回で２つのサイコロを振るときの
合計の値の期待値は

２×１／３６＋３×２／３６＋４×３／３６＋５×４／３６＋６×５／３６＋７×６／３６
＋８×５／３６＋９×４／３６＋１０×３／３６＋１１×２／３６＋１２×１／３６＝

で、答えは「７」になります。
ちなみに、２つのサイコロを振って合計が６になる
確立は５／３６です。合計が６になるまでの回数の
平均は、この逆数になるので、７．２回かと。

補足

おしえてくれてありがとう。
でも、本には6回と書いてあるんですが、ほんの方が間違っているのかな？

回答No.1

damejan

「出た目の和がはじめて６の倍数になる」をAとします。

１回目でAの確率：1/6
２回目でAの確率：(5/6)*(1/6)
３回目でAの確率：(5/6)*(5/6)*(1/6)
では、r回目でAの確率は？
まあ、これくらいは自分で考えましょう。
r回目でAの確率が求まれば（これをP(r)とします）、
期待値は、P(1)*1 + P(2)*2 + ... + P(r)*r + ...
で求まります。これは、等比数列の和ですね。
ここまでのヒントで頑張ってみましょう。