凸レンズと光の結像

質問

中学の理科の問題でどうしても納得できないので、教えて欲しく質問します。
以下ページを勝手に使わせてもらいますが、
光源とレンズ、レンズとスクリーンの距離が、２：１または１：２である場合に
スクリーン上で結像するのは、レンズの公式や図に書いてみたら理解できるのですが
なぜ、整数比の場合だけ結像するのかが、どうしても納得できないのです。
学校の先生に質問しても、数学の相似を使うとか、
はっきり説明してもらえませんでした。
できるだけわかりやすく教えてもらえますか？
ちなみに相似はまだ習っていません。

http://okwave.jp/qa/q1946547.html

回答No.6

el156

スクリーンに結像することの意味はわかりますか？スクリーンとは何か、像を結ぶことの意味、レンズの性質の順に考えてみます。
鏡に映ることとスクリーンに写ることはどう違うでしょうか？鏡に映ったものは、入射角、反射角といった向きの情報を持っています。これに対してスクリーンが持っている情報は光の強さだけです。鏡に映ったものが自分の頭を動かすとどう変化するか、試してみてください。これと比べてスクリーンに写るものはどうでしょうか。こちらは想像してみるだけでも構いません。向きの情報を持つ、持たない、という意味がわかると思います。
スクリーンは光の強さの情報しか持っていないわけですから、見たいものが写るには、見たいものの構造がスクリーン上の各点の光の強さの構造に対応しなくてはなりません。そのためには、見たいものの「ある点」から出た光がスクリーンの上の何処か決まった点に対応しなくてはなりません。スクリーン上のある点に光が複数の場所からやってきてしまったとしたら、光の強さが混じって構造がわからなくなってしまうからです。見たいものの「ある点」から出た光がスクリーン上の複数の場所に到達してしまった場合も同様です。仮にレンズが無くてスクリーンだけがある場合を考えます。その場合でも見たいものから出発した光はスクリーンに到達しますが、スクリーン上の「ある点」には、沢山の場所から出発した光が集まってしまいます。そのため光が混じって情報が消えてしまい、レンズ無しでは像ができないわけです。
見たいものの「ある点」から出た光がスクリーンの上の何処か決まった点に対応するにはどうなれば良いかを知るには、レンズの二つの性質を知っていると便利です。一つ目は、レンズの中心を通る光がほぼ屈折しないと考えて良いこと、二つ目はレンズの左右の焦点を結ぶ向きと平行にレンズにやってくる光は、レンズを越えた反対側で焦点を通って進むということです。この2つを知っていれば、見たいものの「ある点」を決めて、そこから出発してレンズの中心を通る光と、平行にやってきてレンズの所で屈折し、スクリーン側の焦点を通る光とが、どの場所で一点に集まるか、作図できます。その間の経路を通る光も同じ点に集まります。レンズはそのように作られているからです。その場所にスクリーンを置けば像ができるわけです。こうして作図したものを図形の問題と捉えれば、何処に結像するかを数学的に解くこともできるはずです。

回答No.5

hitokotonusi

>焦点距離が８センチの凸レンズを使って
>左においた光源からレンズまでが１２センチ、
>レンズからスクリーンまでが２４センチのとき
>スクリーン上に、はっきりとした２倍の実像ができた、という前提で

これを前提にしていいなら話は簡単です。

レンズからスクリーンまでをＬとして、光源からレンズまでがaの時にスクリーンに鮮明な像ができたとすると、レンズからスクリーンまでの距離はL-a。

ここで光源とスクリーンを入れ換えて上で像を結んだ位置に光源を置くと、光線をたどる向きが逆になるだけで上と全く同じ作図ができるので、先程光源があった位置に像を結びます。この場合を考えれば、光源からレンズまでの距離がL-aのときにスクリーンに鮮明な像ができることになります。

したがって、光源からレンズまでの距離がaの時にスクリーンに鮮明な像ができた場合、像がスクリーンにできるもう一つのレンズの位置はL-aです。

上の前提なら光源からスクリーンまでが３６ｃｍなのでL=36cm。レンズをa=12cmの位置に置いたときに像ができたので、像ができるもう一つのレンズの位置はL-a = 36cm - 12cm = 24cm。

回答No.4

fjnobu

たまたま例題として使った数値がそうなっただけです。
レンズの種類を変えて、実験してください。
整数には全く関係ありません。
公式は、その時に使った条件が合致していたのです。
何よりも実測して、確かめることが大切です。

回答No.3

htms42

小さなローソク
凸レンズ（虫メガネ、新聞を読むときに使う拡大鏡）
白い紙

ローソクに火を付けて部屋を暗くします。
ローソク、レンズ、紙の順番で距離を調整してみて下さい。
紙にハッキリとローソクの像が写るところがあることが分かります。
比が「２：１」なんて全く関係がないことが直ぐに分かります。

家にある凸レンズの焦点距離が知りたければ、昼間太陽の光を集めて新聞の黒い字の部分が焦げる位置を確かめればいいです。焦点、焦点距離の元々の意味です。

あなたは紙の上だけのこととしてレンズを考えているのではありませんか。

回答No.2

Quarks

整数の比になることが規則なのではありません。

光源－レンズ間が　x（cm）　のとき、レンズ－実像間が　ｙ（cm）　になるのなら、
光源－レンズ間を　ｙ(cm）　にすると、レンズ－実像間が　ｘ（cm） になる
といえるというのが、規則なのです。

ｘやｙが必ず整数になるという規則は、ありません。

さて、逆の比が成り立つ様な位置関係が、本当に観察されるのでしょうか。

（１）光の通路は、逆行可能であることを思い出しましょう。
光が、A→B→C　と進むことができるなら、Cから始まって　C→B→A　と進むことが常に可能だということです。

（２）次に、像が"実像"であることが重要です。虚像の場合には上の規則は成立しません。
実像とは、そこに光が集中するところですから、そこに集まった光は、そこから再出発することが可能です。言い換えれば、"実像"は"光源"そのものになれるということです。

おわかりになったでしょうか。　実像から光を発っしたとすれば、その光は、同じ筋道を逆に辿って、光源位置にきちんと戻るはずなのです。
実像と光源とを交換しても、光が通る筋道は同じなのですから、当たり前のことですね。
ですから、

光源－レンズ間：レンズ－実像間　の比は
光源と実像を交換したときの
（実像）－レンズ間：レンズ－（光源）間　の比と、逆の比になっているはずです。

回答No.1

hitokotonusi

＞整数比の場合だけ結像するのかが、どうしても納得できないのです。

状況がわかりませんが、一般的にはそんな事実はありません。
限度はありますが、その範囲内で光源とスクリーンを同時に適切に動かせば、
連続的に変化させることができます。

考えられるのは、光源とスクリーン間の距離が決まっていて、レンズのほうをその間で動かす場合。この場合は像をむすぶ条件を満足するレンズの位置は二ヶ所しかありません。このときに、レンズの焦点距離と光源とスクリーン間の距離がうまく調整されていると整数比にはできるはずです。一般には必ず整数比になるということはありません。

お礼

どうもありがとうございます。
私の説明不足でした。ごめんなさい
下のリンクで説明があるんですが
焦点距離が８センチの凸レンズを使って
左においた光源からレンズまでが１２センチ、
レンズからスクリーンまでが２４センチのとき
スクリーン上に、はっきりとした２倍の実像ができた、という前提で
この場合に、スクリーンと光源は動かさず、レンズをスクリーンに
（右へ）近づけていくと、次にはっきりと像が写るのは
何センチか、というのが問題なんです。
答えは１２センチのようです。
自分で図も書いてみたら確かに等倍の像ができるんですが
レンズの公式を使わずにどうすれば（数学的に）求められるのか
私でもわかる答えがあれば、聞きたかったんです。

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/1946547.html