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トランプのバランス
- トランプのバランスについて調査しています。
- トランプのカードを重なって置いた場合のバランスについて考えています。
- カードの重さと支点の関係について疑問があります。
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ANo.3のコメントについてです。 ＞ 重心の左右に同量のトランプの重量が存在しなければバランスがとれない、と考えていた私の考えが初歩的な間違いであった そのようですね。重心の左右に同量の重量が存在するとは限らない。さらに、どうやら「重心」と「支点」を混同してもいらっしゃるようです。 > そういえば、重さが違っても距離が離れるとバランスは取れますしね。 仰る通りです。 重心が支点の所に来れば、丁度バランスが取れる。なので問題は、支点に対して重心がどこにあるかです。 重心の位置の計算の仕方はANo.3に示しました。けれども、もっと直感的な（しかし要領が悪い）やりかたで、n枚目のトランプをずらした時点でどうなっているかを計算し直してみましょう。 以下、支点（この場合はn+1枚目のトランプの右端）を位置の基準(0cm)にします。また、ANo.3の通り、トランプの幅は2cmとします。だから各トランプ1枚の重心は、そのトランプの右端から左に1cmのところにあるわけです。なので、トランプの右端の位置から1cmを引いたものが、そのトランプの重心の位置です。 1枚目のトランプは (1+1/2+.....+1/n)cmだけはみ出しているのだから、1枚目のトランプの重心の位置は支点より右に((1+1/2+.....+1/n)-1) cmのところにある。 2枚目のトランプは (1/2+1/3+.....+1/n)cmだけはみ出しているのだから、2枚目のトランプの重心の位置は支点より右に(1/2+1/3+.....+1/n)-1) cmのところにある。 3枚目のトランプは (1/3+.....+1/n)cmだけはみ出しているのだから、３枚目のトランプの重心の位置は支点より右に(1/3+.....+1/n)-1) cmのところにある。 以下同様。 どのトランプも重さは同じなので、1～n枚目までのトランプを合わせたもの全体の重心の位置x (cm) はこれらの合計で、支点より右に x={(1+1/2+1/3+.....+1/n)-1}+{(1/2+1/3+.....+1/n)-1}+{(1/3+.....+1/n)-1}+.... +{(1/n)-1} cmのところにあるわけです。{ }で括った各項が1枚のトランプに対応しているんで、n個の項の和になってます。 各項の最後の「-1」の部分だけを集めると、n項あるんだから合計 -n になります。だから x={(1+1/2+1/3+.....+1/n)+(1/2+1/3+.....+1/n)+(1/3+.....+1/n)+.... +(1/n)} - n { }の内側に注目しましょう。1が1個、1/2が2個、1/3が3個, …, 1/nがn個あるので、それぞれを集めると x={1×1+2×1/2+3×1/3+...+n×1/n} - n ところが1×1, 2×1/2, 3×1/3, ..., n×1/nはどれも1ですから x={1+1+1+...+1} - n = n - n = 0 というわけで、上からn枚のトランプ全体の重心は、n+1枚目の右端の位置にあるということになります。
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- B-juggler
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こんがらがってしまってますね＞＜ Ｎｏ．２，５，９ です。 モーメントや、支点重心など考え出すと、以上に難しくなること請け合いです＾＾； 代数学の非常勤（元ね）、電器屋出身ですから、一応その辺は考えたけど、 辞めました～～。 すごくこんがらがりそうだったので＾＾； で、これは最終手段 とでも言うような。。。 一枚目を（１／２）ずらした後、一枚目と二枚目を「糊付けしてください」Σ('◇'*)エェッ!? ＃糊の重さは考えないものとします。 同様に、２枚目を動かしたあと（１／４ね）、今度は三枚目も貼り付けて！ イメージとして、必ず下に支える何かがある！ のが分かってもらえると思います。 それと、この場合、あまり重心や支点にこだわるより、 「右端の 右と左 の重さ」を考えたほうがいいように思うよ。 ＃この場合は、結果的に「支点」が「カードの右端」 ＃「重心」はカードに均一の重さがあるとして、それぞれの対角線の交点 ＃重なれば、「重心同士」を結んだ線分の二等分線に変わります。 ＃この場合、あまり関係ないと思うよ。 本気で物理的に解くとなると話は別だけど。 (=^. .^=) ｍ（＿ ＿）ｍ (=^. .^=) ということで数学屋さんは、この辺にしておきます。
お礼
ご回答ありがとうございます。 ＞すごくこんがらがりそうだったので＾＾； ： はい、当たっています。 ただ、不思議なもので、わからないながらも式が導いてくれる先のイメージがなんとなく理解の助けになっているような気もします。 糊付けするという発想も大変参考になりました。
- stomachman
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ANo.12のコメントについてです。 >＞どのトランプも重さは同じなので、1～n枚目までのトランプを合わせたもの全体の重心の位置x (cm) はこれらの合計 >： >となる理屈がわかりませんでした。 ものa: 質量がma(g)で重心の位置が支点より右 xa (cm)にある。 ものb: 質量がmb (g)で重心の位置が支点より右 xb (cm)にある。 （xaが支点より左にある場合は、xaは負の値になります。xbも同様。） について、両者を一体にしたものは 質量wが m=(ma+mb) (g)で重心の位置xが支点より右 x= (xa ma + xb mb)/(ma+mb) (cm)にある。 そして、x=0であれば釣り合う（ご質問の場合であれば、落ちるか落ちないかのギリギリになる）。 これは天秤やテコの釣り合いを考える際に基本となる原理です。(物理ではモーメントと呼びます。）中学生向けの理科の教科書か参考書あたりに実験と計算のやりかたが詳しく載っているんじゃないかな。 > ４枚目をずらす場合を考えるとき、右にはみ出すことが可能な重さは、長さに換算すると、 > 1/2 + 2(1/4) + 3(1/6) + g ＝２ となると思います。 を何度か仰っているようですが、（既に回答が寄せられている通り）「右にはみ出すことが可能な重さ」ばかりを考えても意味がありません。そうじゃなくて「どれだけの重さがどれだけの長さはみ出したか」のかけ算（モーメント）を考える必要がある。だから、ANo.12ではトランプ１枚ずつについて、それぞれ重心の位置を計算し、（質量はみんな同じなのでそれぞれ1だとして）合計を取ったわけです。 > 1/24 支点から右にはみ出している空白部分が、物質が存在しないにも拘らず > 1/24分の重さを代替していることになるでしょう。 「空白部分」とは1枚目のトランプの左端と、一番下のトランプの右端の間の距離のことを仰っている？だとすれば、それは釣り合いには何の関係もありません。また、「物質が存在しない」ってのは「1枚目のトランプがまるまる右にはみ出していて、その下には何もない」ということを仰っているのかな？ でも、何もない訳じゃない。2枚目のトランプがあり、その下にはさらに3枚目があり、…です。そして、「1/24分の重さを代替」と仰るのは、まだ、「支点の左右に同じだけの重量がある」という誤った思い込みから脱せないでいる、ということでしょう。 解説は、既に皆さんから回答されている。なので、あとは実際にやってみて、その意味を体感することでしょう。ジェンガか麻雀牌、CDのケース、あるいは大きさの揃った本でもいいから、ほんの幾つかあれば、まるまるひとつぶん右にずれた状態は簡単に作れます。
お礼
ご回答ありがとうございます。 ＞両者を一体にしたものは 質量wが m=(ma+mb) (g)で重心の位置xが支点より右 x= (xa ma + xb mb)/(ma+mb) (cm)にある。 ： について、中学生向けの本をそのうち探してみます。 回答者さんはじめみなさんのお陰で、イメージ的には大体納得できるようになってきたと思います。
- hrsmmhr
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先に書きましたように ずらし分は重心の位置をずらしているだけで左右の重量は等しくなくていいのです シーソーで左の距離２の位置に１０の重さを置くのと 右の距離１の位置に２０の重さを置くのが釣り合うという事実から 左右で重さが等しくなる必要がないことをご理解いただきたいです 遠くに飛び出ている分だけモーメントとしては大きくなるので その分多めの重みが下のカードに支えられている部分に残ることになるということです
お礼
ご回答ありがとうございます。 ＞遠くに飛び出ている分だけモーメントとしては大きくなる ： おかげさまでこのことはわかるようになりました。 ＞その分多めの重みが下のカードに支えられている部分に残ることになるということです ： 感覚的には何か非常にわかるような気がします。 これを前回詳細な式にしてくださったのですよね。 みなさんのお陰で大分頭がぼぐれてきたような気もするので、もう少し頑張って考えてみます。
- hrsmmhr
- ベストアンサー率36% (173/477)
では、別の説明をしてみます。 まず線上の均一な密度の物体にその線上の支点にかかるモーメントは実は重心に 全質量がかかるものと同じです。これを仮定できれば ｎ枚目まででｎ枚目までの各トランプの重心のモーメントの和は、 1枚のトランプの質量をｍ、長さを１ ｎ枚目まで動かしたときの支点からｋ枚目のトランプの重心までの位置の差 （ずらす方向を＋として(重心の位置）-（支点の位置））をr_ｋとして S(n)＝Σ[1,n]mg*r_kで記述できｎ枚目まででS(n)=０だとします n+1枚目の重心は移動する前に-1/2の位置にあるので この-1/2*mgの追加されたモーメントを n+1枚で分け合ってモーメントの総和が０となるまで＋方向にdずらすことを考えると Σ[1,n]mg*(r_k+d)+mg*(-1/2+d)=0 が成り立つように動かすことになり (n+1)mgd=mg/2-Σ[1,n]mg*r_k=mg/2-S(n)=mg/2 です よってd=1/{2(n+1)} がでることになります。 他の方へのコメントで、トランプの長さ以上にずらす量の1/{2(n+1)}を加えていいのかのような 疑問をもたれていますが、ここで説明しているように、その差分の追加は重心の位置の変量であるので トランプが連なって支えている限り問題はないのです それと線上の物体にかかるモーメントが重心にかかるという話は ∫[x,x+1]mgrdr=∫[x,x+1/2]mgrdr+∫[x+1/2,x+1]mgrdr =∫[x,x+1/2]mgrdr+∫[-x-1/2,-x-1](-mgr)(-dr) =∫[x,x+1/2]mgrdr-∫[-x-1,x-1/2]mgrdr =∫[x,x+1/2]mgrdr-∫[x,x+1/2]mg(r-2x-1)dr =∫mg(2x+1)dr=mg(2x+1)*1/2=mg(x+1/2)となり この式はmgが支点からx+1/2（物体の重心）にかかるモーメントと等しくなるのでいえることになります 最後にトランプの厚みがあると崩れるかもしれないと書きましたが、勘違いしてました モーメントは回転する方向の成分で計算するので 長さが伸びても重力によってかかるモーメントは同じになるようです
お礼
ご回答ありがとうございます。 専門的な表記が素人にはなじみにくくて、それ以上に当方の頭が良いとは言えないために、非常に難解なのですが、大雑把に要点を懸命に繰り返し読んでいると、なんとなく肯けそうな箇所もあります。 ただ、線密度、モーメントといったことに関する基礎的な知識が皆無なので、小判や真珠をいただいたようなもったいない気持です。 お陰さまで支点を得るには距離も勘案する必要があることには気づいたのですが、そして、それにはモーメントが重要な要素となるらしいことが理解できました。 このことが根本的な考え方に対する重要な助けになっています。 因みに、ちょっと平易な表現で恐縮ですが、 ４枚目をずらす場合を考えるとき、右にはみ出すことが可能な重さは、長さに換算すると、 1/2 + 2(1/4) + 3(1/6) + g ＝２ となると思います。 計算結果としては g =1/2 となります。 カードの実際の長さとして右側にはみ出しているのは、 ２、３、４枚目がそれぞれ1/8ですが、１枚目は2/24 になるでしょう。 １枚目の左端は支点から1/24離れていますから重さとしては含まれないはずです。 しかし、４枚目なので g=4x と考えてみた場合、＃１さんお示しのように、 1/2 + 2(1/4) + 3(1/6) + 4x ＝２ で、x=1/8 となります。 そして、実際にそれで左右のバランスはピタリと釣り合うようです。 この例の場合、 1/24 支点から右にはみ出している空白部分が、物質が存在しないにも拘らず 1/24分の重さを代替していることになるでしょう。 これを直感的に理解したい、あるいは（理解できないにしろ）計算式としての証明がないものだろうかという欲求も生じてしまうのですが、考え方がおかしいでしょうかね。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
あ、A No.10 にはミスプリがある。 重ね重ね申し訳ない。 １枚目を 1/2, ２枚目を 1/4, ３枚目を 1/6 ４枚目を 1/8 + (1/24)/3 = 5/36 だけ順にズラすと、 １枚目が 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/12 = 1, ２枚目が 1/4 + 1/6 + 5/36 = 5/9, ３枚目が 1/6 + 5/36 = 11/36, ４枚目が 5/36 ぶん山からハミ出して、 ハミ出した合計は、1 + 5/9 + 11/36 + 5/36 = 2 です。 ズラす量の計算は、A No.7 でいいんですがね。
お礼
ご回答ありがとうございます。 ＞１枚目が 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/12 = 1, ： カード自体のはみ出しはこうなりますね。 重量的には左右同じになると思います。 ただ、5/36-1/12＝2/36 の（一枚目の）空白部分は計算から除外してしまって良いのか、ちょっと気になりました。 私は、支点からの距離ということを無視していたようなのですが、それにしても＃１で示していただいた、 ＞1/2 + 2(1/4) + 3(1/6) + 4x ≦ (1/2)4 より x ≦ 1/8 ： がまだ気になっています。 というのは、x ＝1/8 だけ４枚目をずらすと確かにトランプ１～４はバランスがとれるらしいからです。 しかし、実際は、１枚目のトランプに x（1/8）は存在しません。 x=１/8 で１枚目の長さが実際に所有しているのは、おっしゃるように1/12 です（残りの1/24は空白）。 なのに、４x という式で正解が出てくるのが不思議だと思うわけです。 単に重さだけでみると左：右＝４９：４７でも、どうやらバランスはとれるらしいです。 落ちないというだけではなく、ちょうど重心が支点になるということですが。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
←A No.7 補足 そうかなあ？ 5/36 で、ぴったり 2 になると思いますよ。 1枚目が山からハミ出す量が、1/2+1/4+1/6+5/35。 2枚目が山からハミ出す量が、1/4+1/6+5/36。 3枚目が山からハミ出す量が、1/6+5/36。 4枚目が山からハミ出す量が、5/36。 合計すると、ちょうど 4/2 です。 A No.1 補足で、1枚目の「空白」を 1/8 と しているあたりに、勘違いがありそうです。 A No.7 で計算したように、「空白」は 1/24 です。
お礼
ご回答ありがとうございます。 お示しいただいた式の合計では２にならないと思います。 ＞1枚目が山からハミ出す量が、1/2+1/4+1/6+5/36 : 1/2+1/4+1/6+5/36＝(18+9+6+5)/36=38/36 ＞2枚目が山からハミ出す量が、1/4+1/6+5/36。 ： 1/4+1/6+5/36＝(9+6+5)/36=20/36 ＞3枚目が山からハミ出す量が、1/6+5/36。 ： 1/6+5/36＝(6+5)/36=11/36 ＞4枚目が山からハミ出す量が、5/36。 5 なので、（38+20+11+5）/36＝74/36=2+2/36 となると思います。 一枚目の長さは最大値で36/36なので、38/36 はみ出すということはないでしょう。 この差 2/36 が総合計 38/36 となることを阻んでいるわけですが、 はみ出し不可能な部分がはみ出しているので -（2/36）はみ出していると考えれば、回答者さんのおっしゃるように、ちょうど ２ になりますね。 ただ、実感としてよく理解できないでいます。
- B-juggler
- ベストアンサー率30% (488/1596)
Ｎｏ．２，５ (o｀・ω・)ゞデシ!! Ｎｏ．１，７ Ａｌｉｃｅさんが書かれていますけれども、 簡単にいくと、「一番上のカードを直接動かしているわけではない」のですよ＾＾； 一番上のカードは、二枚目のカードに半分かかっています。 これでこの二枚の重心は、保てる（一番上は落ちない）訳です。 Ｎｏ．２の回答の中に、計算間違いしているけれど（＞＜） 一番上が落っこちそうね～ というところがありますね。 それ以降、「移動量」として計算していなかったかな？ きれいに絵をかければ分かりやすいのだけど・・・。 えっと、必ず、真下のカードにどれだけか（１／２以上）はかかっているのだから、 部分だけ見ても、この場合おかしいことになるよ。 落ち着いて全体を見てくださいね (=^. .^=) ｍ（＿ ＿）ｍ (=^. .^=)
お礼
ご回答ありがとうございます。 ＞えっと、必ず、真下のカードにどれだけか（１／２以上）はかかっているのだから、 部分だけ見ても、この場合おかしいことになるよ。 ： どうもそういうことになるようですね。 ただ、計算上ではお陰さまで理解できるようになりましたが、長さと重さの関係がもうひとつ理解できていないのかもしれません。
- hrsmmhr
- ベストアンサー率36% (173/477)
一般のｎについてですが カードの長さl 支点から離れているもののモーメントは支点までの最短距離をxとして (l+x)^2-x^2=l^2+2lx （以下このように略して表記します） 支点にかかっている部分のモーメントは長さaならa^2 崩れるほうのモーメントから支えるほうへのモーメントを引いたモーメントを計算すると カード１枚ずつについて ・支点にかからないカードのyずらすことによるモーメント付加分は {l^2+2l(x+y)}-{l^2+2lx}=2ly ・支点にかかるもののモーメント付加分は ・支点までの部分を長さlとして、その付加分はやはり2ly ・支点からy戻す側までの移ることによる付加分は2y^2でこれは長さyをyずらしているのに等しい ・戻す側のｙより遠い部分の長さをlとしてその部分のモーメントの減少による付加分が2ly 結果的にはn枚目までのカードによる付加分はそれぞれ2ly ・n+1枚目の追加による付加分はy^2-(l-y)^2=2ly-l^2 付加分を全部あわせるとn*2ly+2ly-l^2=2(n+1)ly-l^2 y=l/{2(n+1)}なので上式は０になります 実際にはトランプには厚みがあるので1枚目のモーメント計算のための距離が若干増えることで 必ずしも崩れないとはいえないですが
お礼
ご回答ありがとうございます。 モーメントの計算式がちんぷんかんぷんなのですが、明快な解が出るようですね。 左右のバランスという点で、1/8 が妥当な値であることの証明になっているのだろうと感じました。 しかし、理数系に全く弱い当方としては、どうもまだ実感できるまでいかないのが歯がゆいところです。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
←A No.1 補足。 あ、ほんとだ。1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 = 25/24 > 1 ですね。 失礼、間違えました。 １枚目が空白になった分、２～４枚目を更にハミ出させる ことができて、その量は (25/24 - 1)/3 = 1/72 です。 ４枚目は、1/8 + 1/72 = 5/36 だけずらすことができます。 ２枚目のシッポを確認して、1/4 + 1/6 + 5/36 = 5/9 < 1。 今度は、大丈夫ですね。 n 枚目に一般化するのは、難しそうだなあ。
お礼
ご回答ありがとうございます。 ＞４枚目は、1/8 + 1/72 = 5/36 だけずらすことができます。 ： 支点から右にはみ出しているのは、 １+1/2+1/4+5/36＝（36+18+9+5）/36＝68/36＝1+8/9 となりますね。 まだ余裕があると思うのですが、 1+9/9 とするにはどのぐらい動かせばよいのか考えている最中です。
- hrsmmhr
- ベストアンサー率36% (173/477)
物が回転するときには、回転軸から遠くにあるものの方がより強い力が必要です。 シーソーはご存知でしょうか？ 両端に人が乗っているときには、同じ重さなら釣り合いますが、 一方が支点に近いところに座ると他方が沈みます 遠くにかかる重力のほうが近くにかかる同じ重力より支点における回転力としては大きくなるということです その大きさは支点からの距離に比例するので棒状の物体の場合 drの区間にかかる重力がkgdrで距離rに比例すので力のモーメントはkrgdr 積分して1/2kgr^2です（gは忘れていました） 崩れる方向に回す力と、残る方向に回す力が同じか 残る方向のほうは下のカードがストッパーになっているので大きい場合に崩れないことになります。
お礼
ご回答ありがとうございます。 ＞両端に人が乗っているときには、同じ重さなら釣り合いますが、 一方が支点に近いところに座ると他方が沈みます ： やはりこのことが関係してくるわけですか。 積分はもう完全に忘れていますね。
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お礼
ご回答ありがとうございます。 ＞直感的な（しかし要領が悪い）やりかた ： は面白かったです。 多彩な考え方ができるものですね。 全体の流れとしては理解できたと思うのですが、 ＞どのトランプも重さは同じなので、1～n枚目までのトランプを合わせたもの全体の重心の位置x (cm) はこれらの合計 ： となる理屈がわかりませんでした。 因みに、 ４枚目をずらす場合を考えるとき、右にはみ出すことが可能な重さは、長さに換算すると、 1/2 + 2(1/4) + 3(1/6) + g ＝２ となると思います。 計算結果としては g =1/2 となります。 カードの実際の長さとして右側にはみ出しているのは、 ２、３、４枚目がそれぞれ1/8ですが、１枚目は2/24 になるでしょう。 １枚目の左端は支点から1/24離れていますから重さとしては含まれないはずです。 しかし、４枚目なので g=4x と考えてみた場合、＃１さんお示しのように、 1/2 + 2(1/4) + 3(1/6) + 4x ＝２ で、x=1/8 となります。 お陰さまで支点を得るには距離も勘案する必要があることには気づいたのですが、 上記の例の場合、 1/24 支点から右にはみ出している空白部分が、物質が存在しないにも拘らず 1/24分の重さを代替していることになるでしょう。 これを直感的に理解したい、あるいは（理解できないにしろ）計算式としての証明がないものだろうかという欲求も生じてしまうのですが、考え方がおかしいでしょうかね。
補足
こちらの欄をお借りいたします。 ご回答いただいたみなさん、本当にありがとうございました。 素人の稚拙な質問にも拘らず、何度も、懇切丁寧なご説明を賜り感謝いたします。 みなさんのご回答を何度も読むうちに、少しだけ納得の方向に進めたような気がします。 モーメントについての式は理解できませんでしたが、真理というのは美しく整っているものだという印象を受けました。 わかりやすい平易な表現での解説もあり、大変助かりました。 式と平易さのバランスという点で、BA を決めさせていただきましたが、本当はみなさんお一人お一人に差し上げたい気持ちです。 今後も幾度か出没するかもしれませんが、これに懲りずにまたよろしくお願いいたします。