Ｎｏ．２さんもおっしゃっているように、これは雇用保険ではなく労災保険ですね。
そして労働者を雇っている全て事業所は労災保険に加入しなければなりません。
アルバイトの人にも労災は適用されます。
質問者様は社長さん？
とりあえずもう一度、会社側は雇用保険ではなく
労災保険に加入しているかどうか調べてください。
（普通加入しているはず）
労災保険に加入していない会社の労働者が、仕事中に怪我をしたらどうなるか？
たぶん会社は労災の申請をしないでしょう（笑）。
その場合、労働者は労働基準監督署に行って申請し、
認められれば労災での治療（自己負担なし）が受けられます。
労働者は会社が労災保険に入ってなくても、労災での治療は受けられるんです。
ただし会社は治療費を徴収されることになります。
（ちゃんと労災保険に入っていたら徴収はされない）
それからＮＯ．１さんの回答で気になったのですが・・・
＞今は、雇用保険や労災等（通勤交通費までなし）が多いです。
通勤交通費を支給しないのは違法ではありませんが、
雇用保険、労災がないのは違法です。
＞雇用契約で、雇用保険と労災を加入していない就労であると記載してあります。
＞雇用契約で労災は未加入なので、ご家庭の健康保険で自腹でお願い致しますと
労働基準法に違反する雇用契約は無効です。
「確かに違法だけど、そっちもそれでＯＫって契約書にサインしたじゃん」
という言い分は通用しません。
＞今は、雇う側が強い存在なので言い切ることもできると思います。
言うのは勝手です。
しかし「労災は未加入なので、自腹でお願いします。」というのは
違法なことをしたうえに、開き直っているのと一緒。
親御さんがその気になれば返り討ちにあうでしょう。
＞（試用期間なので・・・そうなりますと）
試用期間中でも労災は適用です。
確かに今は雇う側の方が強いでしょう。
しかし最近は一昔前と違って、労働者側はあまりに立場が弱いので
自分の身を守るためにちゃんと法律を勉強する人も増えてます。
なので誠意を持って対応しないと、「自腹でよろしく」なんて言ったら
企業側が返り討ちにあいますよ。
これは良いのか悪いのかわかりませんが、私の知人が仕事中に怪我をしました。
会社側はちゃんと労災に入っていたのですが、
労災が多いと会社側は次の年から保険料が上がってしまう。
なので治療費＋アルファのお金を渡して
「労災を申請しないでくれ」とお願いされたそうです。
お勧めはしませんが、そのアルバイトさんに治療費以上のお金を渡したら
労災を申請するのをやめてくれるかもしれません。
以上、私の知っていることですが、間違っている可能性ももちろんあります。
法律のことなのでご自身でも調べてみてください。
あと労災保険には適用除外の事業（個人経営の農林水産業など）、
適用されない労働者（自営業者など）もありますが
たぶんこのアルバイトさんはそれらに当てはまらないでしょう。
