第二主成分を求めるときの行列V1=V-λaa'

質問

主成分分析についての質問です。

主成分を求めるために、
相関行列Vから、固有値λと固有ベクトルaを求めました。
その次に第二主成分を求めるのですが、
その際に行列Vに対して、
V-λaa'=V1として、新しい行列V1を求めます。

ここが疑問点です。
Vからλaa'を引くことで、
第一主成分の要素を、
行列から引いているんだろうなーというのは
なんとなくわかります。

でも、どうしてλaa'が
第一主成分の要素を表しているのかがわかりません。
また、どうやってこの計算式（V1=V-λaa'）になったのかもわかりませんでした。

多変量解析の本は何冊か読んでみたし、
ウェブもいくつか閲覧しましたが、
どこにも記述が見つからなく、困っていました。
よろしくお願いします。

回答No.1

reiman · ベストアンサー

主成分分析とか第1主成分とか第2主成分とか知らないが

Aをn次実対称行列として
s[1],s[2],s[3],・・・,s[n]
をAの相異なる固有値の組とし
固有値s[m]に対応するAの実固有ベクトルをv[m]とし
u[m]=v[m]/√(v[m]^T・v[m])
とし
B=A-s[1]・u[1]・u[1]^T
とすると
0,s[2],s[3],・・・s[n]
はBの固有値となり
v[1]は固有値0に対応するBの固有ベクトルとなり
v[m](1<m)は固有値s[m]に対応するBの固有ベクトルとなる

このことと関係あるのでは？
なお、固有値の重複度が2以上の時にも同様のことを示すことができる
上記のことは極めて簡単に証明できることなので
知っているとは思いますが

お礼

ありがとうございました。
助かりました。

前に記入したお礼の文章が消えているのはどうしてでしょうね＾＾；