中1数学 有効数字の指導について

質問

有効数字の指導が不十分だと思います。皆さんはどう思われますか。
【例題】身長172.9 cm，体重50.1 kg の人の BMI を有効数字に注意して求めなさい。ただし，BMI＝体重(kg)/{身長(m)}² である。
【解答】身長は(測定値±0.1)cm，体重は(測定値±0.1)kg の誤差を含んでいると考えられるので，有効数字3桁で求める。
50.1/(1.729)²＝16.75……≒16.8

回答No.5

hitokotonusi · ベストアンサー

#4番さんの回答は有効数字に対する大きな誤解があります。
というか、過度に信用しすぎています。

有効数字は最小桁の位置に誤差が含まれるということを意味しているだけです。
なので有効数字の計算で出した

＞BMI≒16.8

は

＞16.75≦BMI＜16.84

を意味しません。
このように教えられているとしたら大間違いなのでただちに改めるべきです。

有効数字が示しているのは、

BMI = 16.[8]　([]が有効数字最小桁)

は[8]の位、つまり小数第１位に誤差の一桁目が来るということだけで、
実際に標準偏差を計算してみれば、有効数字3桁で

16.8±0.3　だの 16.8±0.7　だの

になることは当たり前にあります。

この例の場合、書かれているとおり誤差をそれぞれ±1mm, ±0.1kgとして計算すれば、

δ(BMI) = 16.759 √[ (0.1/50.1)^2 + 2^2 (0.1/179.1)^2 ] = 0.04

なので１標準偏差の範囲で

BMI = 16.76 ± 0.04

となり、有効数字をもとに3桁と算出するのは誤差を過度に見積もり過ぎえていることになりますが、誤差の桁が小数第１位を越えているわけではないので安全策としての機能は果たしています。

ただし、この例では

＞身長は(測定値±0.1)cm，体重は(測定値±0.1)kg の誤差を含んでいると考えられるので

という想定の誤差が小さすぎるのが原因で、これは

＞身長172.9 cm，体重50.1kg

と書いた測定値の誤差が最小桁の±１と考えたことが間違いであることからきています。
誤差が±1となるくらいなら、はじめから測定桁数をもう一桁あげるべきです。
なんらかの理由で精度をあげられないなら有効数字の計算で有効な桁を捨て去ってしまうのはやむを得ないことです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.4

alice_44

身長≒1.729
体重≒50.1
というのは、有効数字の考え方だと
1.7285≦身長＜1.7294
50.05≦体重＜50.14
という意味なので、この範囲で
BMIのとりえる値を計算してみると、
16.7345…＜BMI＜16.7820…
となる。

BMI≒16.8
という近似は、
16.75≦BMI＜16.84
という意味だから、
ちょっとズレているが、当たらずとも遠からず
といった感じではある。

実は、これにはカラクリがある。
３桁÷４桁÷４桁の答えを３桁で出している
のだから、２乗で効いて誤差への影響が大きい
身長のほうの精度が高いことでズルをしている
訳である。

試しに、身長も３桁精度にして
身長≒1.73
体重≒50.1
で同様に計算してみると、
1.725≦身長＜1.734
50.05≦体重＜50.14
より
16.6458…＜BMI＜16.85024…
となって、有効数字による
16.75≦BMI＜16.84
を、大きくハミ出す。

前回の例
身長≒1.70
体重≒60
のほうが、この特徴は顕著に現れる。

有効数字の実力は、こんなものかと。

ところで、ずいぶん痩せているようだが、
夏バテには気をつけてください。

お礼

＞ところで、ずいぶん痩せているようだが、夏バテには気をつけてください。
気を付けます。alice_44先生も気を付けてください。

回答No.3

boiseweb

一事不再議！
http://okwave.jp/qa/q6820656.html

回答No.2

Takuya0615

有効桁数って、小数点以下の話でしょ？

設題に小数点第一位で提示されてるので、
小数点第二位を四捨五入する。

こういったイメージでいいと思いますよ。

お礼

有効数字の指導は厳しく行わないと理科などに関係してきます。

回答No.1

hitokotonusi

そもそもが有効数字は測定と結びついているので、
測定という行為ぬきに数学で教えること自体が間違っています。
だからそれが測定値かどうかも考えずにやみくもに使って間違えるんです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

補足

まずは誤差論から始めるべきでしょうね。