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密閉容器の重さについて
気体を封入した密閉容器の重さを量ると、 容器そのものの重さと、封入した気体の重さを足したものが 容器の重さとして求まります。 このとき、容器中の気体はどのような働きがあって容器の重さに寄与 しているのでしょうか？ 直感的には、容器中に漂う容器に接触していない気体分子などは、 容器の重さに影響を与えないように思えてしまいます。 回答よろしくお願いします。
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- htms42
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＃５です。 ＞それは、nというのは気体の物質量を表していますが 理想気体の状態方程式にPbを代入した時の物質量がなぜ質問文における容器内の気体の 物質量と等しいといえるのでしょうか？ ＞＞理想気体の状態方程式ＰＶ＝ｎＲＴをＰ＝ρＲＴと書き変えます。ρ＝ｎ／Ｖです。 容器の中の上と下で密度が違っているとします。 底ではＰｂ＝ρｏＲＴ、上ではＰｔ＝ρＲＴです。 文字の使い方に少し混乱するところがありましたので変更します。 初めのＰＶ＝ｎＲＴは理想気体の一般式です。ｎは容器内の気体全体の物質量です。 Ｖで割ってＰ＝ρＲＴと書き変えました。ρは密度です。ρ＝ｎ／Ｖとしたところではρは全体の密度です。 今は密度が場所によって少し変わっているということを考えています。従ってρ＝ｎ／Ｖで決まる密度は容器内全体での平均の密度であるということになります。場所によって密度が少し変わっている、圧力にも少し違いがあるということを表すのに文字だけを変えた同じ式を使っています。密度という量は全体とは関係なく決まる量なので式としては同じものが使えるだろうという立場です。 底の密度をρｂ、上での密度をρｔとします。ρｂ＞ρ、ρｔ＜ρになっています。でもその違いはごく小さいものです。差を求めているところ以外ではρ＝ρｂ＝ρｔとしてもかまいません。 Ｐｂ－Ｐｔ＝ρｂＲＴ（１－ρ／ρｏ）＝ρｂＲＴ（１－exp(－Ｍｇｈ／ＲＴ)）～ρｂＭｇｈ 容器の上下の面にかかる力の差は Ｓ（Ｐｂ－Ｐｔ）＝ρｂＭｇＶ＝ρＭｇｈ＝ｎＭｇ ここでｘが小さい時には exp（ｘ）～１＋ｘ という式が成り立つことを使っています。 「～」は式としてほぼ等しいということを表したい時によく使う記号です。「≒」という記号は値としてほぼ等しいことを表す時に使われています。 ＞理想気体の場合においても、やはり高さによる密度の違いが生じるのでしょうか？ 重力によって高さによる分布に違いが生じるということですから理想気体、実在気体の区別はありません。 （理想気体、実在気体の違いというのを意識しすぎています。ボイルの実験、シャルルの実験は全て空気でやられています。普通の条件では空気は理想気体です。実在気体が問題になるのは低温、高圧の場合というのを習っていると思いますがどの程度の圧力が高圧か、どの程度の温度が低温かという数値的な判断を一切やらずに暗記モノとしてだけ頭に入れていますから実在気体では違うことが起こるという呪いにかかってしまうのです。 理想気体の扱いからのずれが目立ってくるところの目安を荒っぽく言えば気体が気体でなくなるところです。気体が液体に変わってしまうところです。その近くに行くとずれが大きくなってきます。酸素の沸点、窒素の沸点を考えれば常温は高温であると言っていいということが分かります。常圧付近というのは低圧です。１０気圧付近でも大丈夫です。理想気体からのずれが大きい気体であるとされている二酸化炭素でも３００Ｋ、１０気圧で、５％ほどのずれです。酸素、窒素であれば１％以下でしょう。 大気の場合、地上での圧力が一番高いです。それが１気圧です。上空に行くとどんどん圧力が小さくなっていきます。） ）
- el156
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No.2です。私なりの定量的な回答を作ってみました。 容器の底から高さhの場所の気体の密度をρ、圧力をPとすれば、この場所の微小体積で単位体積あたりの重力と圧力勾配が釣り合っているはずなので、 ρg=-dP/dh この式に容器の水平断面積Sを掛け、0から容器の高さHまでdhで積分すると、左辺は気体の重さmに加わる重力mgになるので、 mg=-S∫dP=S(P0-PH) (但し、PHは容器上面の圧力、P0は容器底面の圧力) 即ち、容器底面に加わる圧力と容器上面に加わる圧力の差が気体の重さmgと等しいと言えます。 圧力は分子の運動量と単位面積あたりにぶつかる分子の数とで決まりますが、温度一定が前提なら運動量は均一なので、上記圧力差は容器上面付近と底面付近の気体分子の密度の違いによると言えます。 ======= 最初はベルヌーイの定理を使おうと考えたのですが、何故か誤差が生じてしまいうまく行きませんでした。ここで質問する訳にも行かないので別に私の質問を作ろうと思います。
- bensharman
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＃８ ＞圧力差が気体の重さとして測定されるので容器が直方体の場合容器の置き方によって 気体の重さは変化します。 ＞こんなおかしい事は起こりません。 理想気体であれば上側と下側の圧力差は容器の高さに依存しません。 実在気体は相互作用するので容器の高さが変化すると圧力差が変化し 結局気体の重さは変化する、と考えました。 注） 理想気体 大きさを持たず相互作用しない気体 実在気体 有限の大きさを持ち相互作用する気体
- htms42
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＃７ ＞圧力差が気体の重さとして測定されるので容器が直方体の場合容器の置き方によって 気体の重さは変化します。 こんなおかしい事は起こりません。 気体でなくて液体の水の場合でも同じ場面が生じます。 容器の質量、水の質量は同じだとします。 円筒形の容器に水を入れた場合と首の細い瓶に水を入れた場合とで瓶の底面にかかる水圧は変わります。 でも入れた水の量が同じであれば瓶ごと秤に載せて測った水の重さは容器の形によらず同じです。 瓶の底にかかる水圧は瓶の形によって変化しますが瓶の底から秤の台にかかる力はどちらでも同じです。 どうしてこういうことになるのかはご自分で考えてみて下さい。
お礼
回答ありがとうございます。
- bensharman
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＞気体分子が運動している以上、どの気体分子もいずれは容器にぶつかると思います。 けど、ある瞬間を見れば、容器にぶつかっている気体分子と、容器にぶつかっていない 気体分子が存在すると思うのですが、どうなんでしょうか？ 全ての気体分子は常に容器にぶつかり続けているのでしょうか？ 確かにある瞬間をみると容器にぶつかっている気体分子とぶつかっていない気体分子があります。 ある適当な時間間隔の間に壁にぶつかる分子もいればぶつからない分子もいます。 しかしその時間間隔の間に壁にぶつかる分子がいるので圧力は常に掛かっていることになります。 ＞また、圧力差が気体の重さとして現れるならば、仮に容器の形が直方体のような 形であった場合、秤への容器の置き方によって圧力差が変化します。 ということは、置き方によって容器の重さは変化してしまうのでしょうか？ 圧力差が気体の重さとして測定されるので容器が直方体の場合容器の置き方によって 気体の重さは変化します。
お礼
回答ありがとうございます。 No.5 htms42さんの回答では、理想気体の場合においてですが、圧力差に関わらず 容器にかかる気体の重さは一定であることが求められました。 なぜ実在気体の場合では、圧力差が気体の重さに影響を与えてくるのでしょうか？
- el156
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No.2です。 No.5の方の完璧なお答えがあるのでもはや不要かも知れませんが、No.2の追加質問にお答えしておきます。冷やして完全に液体にすれば上部は真空となって気体分子の重さだけが底面に掛かります。その後温度を上げて行けば液体の重さは減ってこれが気体になった分だけ圧力は次第に増加します。側壁にぶつかる分は容器の重さに寄与しませんが、容器の上面より下面(液面)の方がぶつかる分子の数が多いのでその差分だけが液体の重さが減った分を補います。
お礼
回答ありがとうございます。
- htms42
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「容器の壁に接触しているのではない（容器中を漂っている）気体分子の重さがなぜ容器全体の重さの一部として測定にかかってくるのだろうか」というご質問ですね。 容器内部の気体が示す圧力が容器の上の面と下の面で差があるからです。 普通はこの圧力差は無視しています。でも重さがどのようにしてかかってくるのかという問いに答える時には少し違いがあるとして計算して行きます。上の面での圧力をＰｔ，下の面での圧力をＰｂ、容器の上面の面積、下面の面積をともにＳとすると気体の重さはＳ（Ｐｂ－Ｐｔ）になります。 問題はこの圧力の違いの生じる仕組みです。 まず、上に行くと重力の位置エネルギー分だけ運動エネルギーが減少するので遅くなるからだと考えてみます。 でもこの考えで行くとあるところから上には空気は存在しなくなるという結果になります。 地上での空気の分子運動の速さは５００ｍ／ｓ程度です。（音速よりも少し速い値です。） ｇ＝９．８m/s^2としてｖ＝０になる高さを求めると１～２万ｍ程です。空気はもっとずっと上の方まで分布しています。高さと共にどんどん運動の速さが小さくなるということはないのです。もしそうであれば温度もどんどん低くなる、数万ｍで絶対０度になってしまいます。上空では地上よりも温度の高いところもあります。上空に行くに従って一様に減少しているのは密度です。上にある分子は下にある分子に支えられているのです。絶えず衝突を繰り返していることでそういうことが実現しています。 容器の中にある気体の場合にも高さによる密度の変化が生じます。これは熱運動の結果ですから統計力学的な分布の法則を当てはめて考えることができます。 位置エネルギーの違いはこの分布に効いてきます。 高さｈの差があるところでの分布の比ρ／ρｏはexp(－Ｍｇｈ／ＲＴ)です。Ｍは気体のモル質量、Ｒは気体定数です。ｈ＝１m、Ｍ＝３０g＝０．０３０kg、ｇ＝１０m/s^2、R=８．３J/mol/K、Ｔ＝３００Kとすれば、Ｍｇｈ／ＲＴはものすごく小さな値です。だからρとρｏの比もほとんど１です。 まず、通常の方法で気体の圧力を求めます。 （気体分子運動論での初歩的な取り扱いは高校の物理でも出てきます。） ・ある短い時間ｔを考えます。 ・その時間内に壁に衝突する分子の数を求めて壁に与える力積の総和を求めます。 ・この力積の総和の時間平均を求めると衝突によって壁にかかっている力の平均値が求めされます。 ・面積で割れば圧力になります。 容器の中にある分子が一度に壁にぶつかっているとしなくてもいいのです。 充分に多数の衝突が起こるということは前提になっていますがすべての粒子がぶつかっているということは仮定していません。短い時間での衝突を考えて平均を取っているのです。 容器内にある気体がどこでも同じような状態になって存在しているということをあちこちで使っています。直接衝突していなくてもこのことを通じて他の分子の存在が考慮されていることになります。 このようにして得られた結果から気体の温度が気体分子の運動エネルギーに対応しているというよく言われている解釈が出てきます。（以下の部分での議論はこの部分はなくてもかまいません。でも宙に浮いている分子の存在がどうして効いてくるのかという疑問に対してはここでの議論も理解しておく方がいいだろうと思って書きました。） 理想気体の状態方程式ＰＶ＝ｎＲＴをＰ＝ρＲＴと書き変えます。ρ＝ｎ／Ｖです。 容器の中の上と下で密度が違っているとします。 底ではＰｂ＝ρｏＲＴ、上ではＰｔ＝ρＲＴです。 Ｐｂ－Ｐｔ＝ρｏＲＴ（１－ρ／ρｏ）＝ρｏＲＴ（１－exo(－Ｍｇｈ／ＲＴ)）～ρｏＭｇｈ 容器の上下の面にかかる力の差は Ｓ（Ｐｂ－Ｐｔ）＝ρｏＭｇＶ＝ｎＭｇ ｎＭは内部にある気体の質量ですからｎＭｇは内部にある気体の重さを表しています。 分布がexp(－Ｍｇｈ／ＲＴ)であるというのはあちこちに載っているようですが、重さがかかってくる仕組みについての記述はほとんど見つかりません。
お礼
回答ありがとうございます。 非常に理論的な説明で、気体の重さが容器にかかってくることが分かりました。 ありがとうございます。 でもいくつか分からないところがあります。もし面倒でなければ教えてください。 それは、nというのは気体の物質量を表していますが 理想気体の状態方程式にPbを代入した時の物質量がなぜ質問文における容器内の気体の 物質量と等しいといえるのでしょうか？ また、ρｏＲＴ（１－exo(－Ｍｇｈ／ＲＴ)）～ρｏＭｇｈという記述がありますが この記述の中で～という記号がありますが、これは＝と解釈してよろしいのでしょうか？ また、exo(－Ｍｇｈ／ＲＴ)= 1 - Ｍｇｈ／ＲＴ ということでしょうか？ また、理想気体の場合においても、やはり高さによる密度の違いが生じるのでしょうか？
- 中村 拓男（@tknakamuri）
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気体や液体の中に密封容器があると、その体積分の気体の 重さの分だけ軽くなります(アルキメデスの原理)。 これは気体の高さ方向の圧力のわずかな差によるものです。 気体はそこに留まるために自分の重さを支えるだけの 圧力差が必要です。当然容器も気体から圧力を受けます。 同様に密封容器中の気体はその高さ方向の圧力差により、 その体積の重さ分だけ容器を重くします。 以上から、気体を封入した密閉容器の重さは 容器そのものの重さ + 容器に封入された気体の重さ - 容器がおしのけた体積分の気体の重さ になります。
お礼
回答ありがとうございます。
- bensharman
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質問内容に気体分子は容器中を漂っていて容器に接触していないとありますが 気体分子は容器の中を飛び回っていて容器にぶつかっています。 気体分子が容器にぶつかることで容器の内側から外側の方へ圧力が生じます。 このとき気体分子自身の感じる重力によって容器の上と下で圧力差が生じます。 この圧力差が気体の重さというものです。
お礼
回答ありがとうございます。 ＞気体分子は容器の中を飛び回っていて容器にぶつかっています。 気体分子が運動している以上、どの気体分子もいずれは容器にぶつかると思います。 けど、ある瞬間を見れば、容器にぶつかっている気体分子と、容器にぶつかっていない 気体分子が存在すると思うのですが、どうなんでしょうか？ 全ての気体分子は常に容器にぶつかり続けているのでしょうか？ また、圧力差が気体の重さとして現れるならば、仮に容器の形が直方体のような 形であった場合、秤への容器の置き方によって圧力差が変化します。 ということは、置き方によって容器の重さは変化してしまうのでしょうか？
- el156
- ベストアンサー率52% (116/220)
No.1です。すみません。No.1は間違いです。下の方が速いと温度差が生じていることになるので、下面の方が分子の数が多いからというべきだと思います。換言すれば下面は上面に比べて位置エネルギーの差に相当する分だけ圧力が高いということです。
お礼
回答ありがとうございます。 エネルギーの差が気体の重さとして現れるのですね。 もう一つ質問してよろしいですか？ もしも質問文に挙げた容器を冷やして、気体をほとんど液体にしてしまったならば 冷やす前と後では容器の重さは変化してしまうのでしょうか？
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お礼
回答ありがとうございます。 ρ＝ρｂ＝ρｔが成り立つとするならば、Ｐｂ＝Ｐｔも成り立ってしまい 小さな違いがあるという仮定と矛盾してしまいます。 違いがあるという仮定に反する仮定を用いてよいのでしょうか？ また、違いはごく小さいものとありますが、測定誤差との区別がつかないほど 小さなものなのでしょうか？ 度々の回答ほんとうにありがとうございます。