表面積が１００の多面体の体積の最大と最少

質問

形と面の数を指定しない多面体の表面積が１００のとき
体積の取りうる最小値と最大値はいくらになりますか？

回答No.2

fronteye · ベストアンサー

(1) 体積の最小値は極限値として求められ、その値は０です。
　　底面積が５０の角柱を考えます。
　　角柱の高さを極限値０にとれば、表面積１００、体積０になります。
　　実際には高さを０にとることはできませんが、０に限りなく近付けると考えます。

(2) 体積の最大値も極限値として求められ、その値は９４．０３１５９７…です。
　　表面積が一定のとき、体積が最大になる立体は球です。
　　球と表面積が等しいどのような多面体も、球より体積は小さくなります。
　　表面積が１００の球を考えます。
　　４πｒ^2 =１００ から、ｒ = ５/√π
　　体積は ４πｒ^3/３ = １００ｒ/３ = ５００/３/√π = ９４．０３１５９７…
　　ここでも、多面体の面の数を無限に増やし、一つ一つの面の面積を限りなく０に近付けると球に近似すると考えます。

お礼

最大になる多面体は球でしたか。
球と正四面体で迷ってました。
ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

最小値も最大値も存在しないと思う.