丸のついた角度の合計を求めなさい

質問

図は小学５年生の模擬テストに出た問題です。解答はもらったものの「何故」そうなるのかが理解できません。

お手数ですが、解答とそれを導くまでの考えを教えてください。

回答No.9

nattocurry · ベストアンサー

図を、１つの七角形と７つの三角形として考えます。
７つの三角形それぞれに名前をつけます。どこから初めてもいいですが、時計回りにＡ～Ｇとします。
三角形のそれぞれの角にも名前をつけます。
Ａの三角形の○がついている角をＡ０、そこから反時計回りにＡ１、Ａ２とします。

七角形のそれぞれの角にも名前をつけます。
Ａ１の位置にある角をＨＡ、Ｂ１の位置にある角をＨＢ、・・・、Ｇ１の位置にある角をＨＧとします。

○の角の合計＝Ａ０＋Ｂ０＋・・・＋Ｇ０
＝（Ａ０＋Ａ１＋Ａ２）＋（Ｂ０＋Ｂ１＋Ｂ２）＋・・・＋（Ｇ０＋Ｇ１＋Ｇ２）
　－（Ａ１＋Ａ２＋Ｂ１＋Ｂ２＋・・・＋Ｇ１＋Ｇ２）

三角形の内角の和は１８０°なので、

○の角の合計＝Ａ０＋Ｂ０＋・・・＋Ｇ０
＝（Ａ０＋Ａ１＋Ａ２）＋（Ｂ０＋Ｂ１＋Ｂ２）＋・・・＋（Ｇ０＋Ｇ１＋Ｇ２）
　－（Ａ１＋Ａ２＋Ｂ１＋Ｂ２＋・・・＋Ｇ１＋Ｇ２）
＝１８０°＋１８０°＋・・・＋１８０°
　－（Ａ１＋Ａ２＋Ｂ１＋Ｂ２＋・・・＋Ｇ１＋Ｇ２）
＝１８０°×７－（Ａ１＋Ａ２＋Ｂ１＋Ｂ２＋・・・＋Ｇ１＋Ｇ２）

Ａ１はＨＡの外角、Ｂ１はＨＢの外角、・・・、Ｇ１はＨＧの外角、なので、Ａ１＋Ｂ１＋・・・＋Ｇ１は、七角形の外角の和になります。
多角形の外角の和は、多角形が何角形でも３６０°です。

同様に、Ａ２はＨＢの外角、Ｂ２はＨＣの外角、・・・、Ｇ２はＨＡの外角、なので、Ａ２＋Ｂ２＋・・・＋Ｇ２も、七角形の外角の和であり、３６０°です。

○の角の合計＝Ａ０＋Ｂ０＋・・・＋Ｇ０
＝１８０°×７－（Ａ１＋Ａ２＋Ｂ１＋Ｂ２＋・・・＋Ｇ１＋Ｇ２）
＝１８０°×７－（Ａ１＋Ｂ１＋・・・＋Ｇ１＋Ａ２＋Ｂ２＋・・・Ｇ２）
＝１８０°×７－（３６０°＋３６０°）
＝１８０°×７－３６０°×２

あとは計算するだけ

＝１８０°×７－１８０°×４
＝１８０°×３
＝５４０°

お礼

最初は全くわけがわかりませんでしたが印刷して読み込んでいるうちに自分が「多角形の外角」を間違えて理解していることに気づき、ようやく回答が理解できたところです。

ありがとうございました。

回答No.14

R_Earl

ANo.14で間違えて「ANo.5です」と書いてますが、
私の回答番号はANo.6でしたね。申し訳ありませんでした。

> ただ、私には添付図で「どう」２回転していることが全然理解できないのです。１回転の定義は出発点と初めて交わること、でしょうか？

強いて言うなら、「スタートの時と同じ方向を向いたら一回転」です。
この回答の添付図の星型図形の、辺の上を歩く人を想像して下さい。
歩き始める時、この人は真西を向いてます。
この人が辺上を進んで頂点に到達すると、「回れ左」をして再び歩き出します。
ここで一番上の頂点に来た時の様子を想像してみてください。
ここで「回れ左」をすると、(一瞬だけですが)スタートの時と同じ
真西の方向を向きますよね。
このように、スタートと同じ向きを(一瞬でも良いので)向いたら
一回転と考えて下さい。

ちょっと無理矢理な例えかもしれませんが、
ジェットコースターに乗って「一回転した」と感じるのはどんな時ですか？
回転する前と同じ方向を向いた時ではないでしょうか。
なので「同じ方向を向いた時」を「1回転した」と考えるんです。

お礼

お礼が遅くなり申し訳ありません。ずっと考えていますが２回転なら７２０度というのは理解できます。しかし小学５年生の解き方とは言えないように思えるのです。

回りくどいようですが１１番の手法が子どもの知識では理解しやすく思えます。

何度もていねいなご説明ありがとうございました。

今後ともよろしくお願いいたします。

補足

わかりやすいのは「１０」の回答でした。

ありがとうございました。

回答No.13

R_Earl

ANo.1, 3, 5の方の解き方は、この外角の和を利用した解き方になってます。
ANo.15で述べたように、今回の図形の外角の合計は720°です。 … (1)

また、隣り合う内角と外角は足すと180°になるので、
一個の外角の大きさは

180° - 隣の内角1個の大きさ

で計算できます。
そうなると外角を全部足した大きさは
(180° - 赤丸1) + (180° - 赤丸2) + … + (180° - 赤丸7)
になりませんか？
この式は「180°を7個足し合わせ、赤丸全部の大きさを引く」
という式になってます。
なので
外角の和は

180° × 7 - (赤丸全部の大きさ) … (2)

となります。

(1)と(2)から、赤丸全部の和は
ANo.5の方の回答内容のように計算することができます。

他の解法としては、平均を使う方法があります。
外角7個の合計が720°だから、
外角1個の大きさの平均値は(720/7)°ですよね。
ここから内角1個の大きさの平均を求めることができます。
内角1個の大きさは
180°- 外角1個の大きさ
で計算できるので、内角1個の大きさの平均は

180° - (外角1個の大きさの平均)
= 180° - (720/7)°

となります。
内角は全部で7個なので、内角全部の大きさは
内角の平均値を7倍すれば求まりますよね。
つまり

(180° - (720/7)°) × 7

で赤丸の合計値を計算できます。
ただ、この方法は分数のかけ算と
分配法則に慣れていないと上手く使えないです。

お礼

別の解法のご提示、感謝いたします。

ありがとうございました。

回答No.12

R_Earl

ANo.14で言い忘れましたが、図形の内側にある角を「内角」と言います。
ANo.14の添付図では20°、40°、120°の大きさの3つの角が内角になります。
1つの内角のすぐ隣に1つの外角がある事になります。
隣り合う内角と外角の和は180°となります。

次に今回の質問の図形のような図形について考えます。
前に述べたように普通の三角形や四角形は、
「1回まわって元に戻るように線を引く」という方法で描かれています。
でも、元に戻る方法は「1回転」だけに限りませんよね。
「2回まわって元に戻るように線を引く」とか、
「3回まわって元に戻るように線を引く」としてみたらどうでしょうか。
添付図に「2回まわって元に戻るように描いた五角形」を載せます。
赤い線が一回転目、青い線が二回転目の回り方を表しています。

今回の質問の図形は、「2回まわって元に戻るように描かれた七角形」です。
指で線をなぞってみると、2回転してませんか？

このような2回まわって元にもどる図形は
2回転(つまり720°回転)しているので、
外角の和は必ず720°になります。
同様に3回まわって元に戻るように線を引いて描かれる図形は、
外角の和が1080°になります。

お礼

大変詳しい説明をありがとうございます。

ただ、私には添付図で「どう」２回転していることが全然理解できないのです。１回転の定義は出発点と初めて交わること、でしょうか？

回答No.11

R_Earl

ANo.5です。

> ＞「2回転して元に戻る」
> これはどのような現象を表し、それが何を意味しますか？
>
> よろしくお願いします。

これを説明するには、まず「外角」というものを理解する必要があります。

今回の質問のような図形ではなくて、
まず普通の三角形や四角形、五角形、六角形などを考えます。
これらの図形の線上に人が立っていて、
その人が線の上を歩いて一周する様子を想像、
あるいは絵に描いてみてください。
そうするとその人は各頂点にたどり着くたびに曲がることになります。
この時曲がる角度を「外角」と言います。
添付図に、三角形の場合の図を描いてみました。

さて、「一周する」という事は「360°回る」という事ですよね。
つまり、このような普通の図形の線上をぐるっと回って元に戻ると、
「一周するまでに合計で360°回る」という事になりませんか？
つまり普通の図形の場合、どんな形をしていても
この外角を全部足すと360°になるんです。

お礼

外角についてこの回答で説明されていたのですね。「回転」のことばかり考えていて・・

ありがとうございました。

回答No.10

info22_

#4です。

A#4の図を描きましたので添付します。

図の説明
AとD、EとGを結ぶ補助線を引くと
∠Eと∠Dを青□と緑○に分割すると
△HEGと△HADは桃の頂角Hが同じで三角形の内角の和が180°だから
「青□の和」＝「△ADHの赤□の和」
に移せるので、
「７星形の内角の和」＝「四角形ABCDの内角の和」＋「△EFGの内角の和」
　　＝「△ABCの内角の和」＋「△ACDの内角の和」＋「△EFGの内角の和」
　　＝「３つの三角形の内角の和」
　　＝180°×3＝540°
というわけで540°と分かります。

お礼

申し訳ありません。

私にはこの説明では理解できないようです。残念です。

ありがとうございました。

回答No.8

alice_44

←A No.8
回答したのは一回で、何も繰り返していないし、
A No.6 までに書かれた解法とかぶってもいない。
何に咬みついているのか？

お礼

まぁまぁ・・

ありがとうございます。

回答No.7

alice_44

中央の７角形と周辺の７個の三角形に注目すれば、

(丸のついた角度の合計)
= (７個の三角形の内角の合計) - (七角形の外角の和の２倍)
= 180°×7 - 360°×2
= 540°

と計算できる。
多角形の外角の和は、何角形でも 360°

お礼

多角形の「外角」をずっと取り違えて理解していましたので回答が理解できてませんでした。ようやく理解できたところです。

長い道のりでしたが理解できうれしいです。

ありがとうございました。

回答No.6

R_Earl

ANo.1, 3の方へ

今回の図形は「2回転して元に戻る」ので、
360°ではなくて720°回転している事になります。
なので求める角度の合計は
180° × 7 - 720° = 540°
となって、ANo.4の方と同じ答えになります。

お礼

＞「2回転して元に戻る」
これはどのような現象を表し、それが何を意味しますか？

よろしくお願いします。

回答No.5

gohtraw

やっぱ違う。進む方向は二まわり（３６０°が二回）変わっているので
１８０＊７－（赤丸の角度の総合計）　が３６０＊２に等しくなり、
赤丸の角度の総合計は１８０＊７－７２０＝５４０
ですね。

お礼

質問者自体がよくわかってないので、回答者が非常にわかったレベルになってから回答してくださいますようお願いいたします。

ご回答ありがとうございます。

回答No.4

info22_

上側の2つの頂点を結べば、1つの三角形と4角形（2つの三角形に分けられる）の内角の和に移動できるので、結局３つの三角形の内角の和になり、求める頂角の和＝180°×3=540°と導くことができる。

お礼

ありがとうございました。