直角三角形の角の和

質問

底辺２で高さ１の直角三角形の高さ１に対する角と
底辺３で高さ１の直角三角形の高さ１に対する角の和は４５度になるようですが、その初等的な証明方法を教えてください。

回答No.3

mirage70 · ベストアンサー

>初等的な証明方法を教えてください。
よって、三角関数の合成はわからないものとして証明しますが、ピタゴラスの定理、及びルート、または三角定規の45°のものの辺の比が1 : 1 : √2を知っているものとします。

先ず、底辺３で高さ１の直角三角形の高さ１の三角形ABCを書きます。即ち、∠ACB=90°、AC=3 , BC=1 , AB=√10
そして、∠BAC=αとおきます。
次に、AB上にAF=√5となる点Fを取り、AG=2 , GF=1となる直角三角形を書きます。(即ち、∠AGF=90°そして、△ABCに逆向きに△AGFをかぶせて、∠FAG=βとします)
次いで、AGの延長と、BCの延長の交点をDとする。
また、このADにBより垂線を下ろし、交点をEとする。
△AFG∽△ABE、FG=1 , AG=2 , AF=√5 , AB=√10より、
BE=√2 , AE=2√2 が求まります。
最終段階として、△BED∽△ACD(∠EDB=∠CDA , ∠DBE=∠DCA=90°)
BD=X , ED=Yとおくと、
EB : AC=ED : CD=BD : AD此に、数値を入れてください。
√2 : 3=Y : (1+X)=X :((2√2)+Y)
3Y=√2+(√2)*X
3X=4+(√2)*Y
此を整理すると、
6X=(9√2)*Y-6
6X=8+(2√2)*Y
Y=√2 , X=2
よって、CD=3 , AC=3 , AD=3√2
此より、 1 : 1 : √2の比がでていますので、α+β=45°

お礼

有難うございます。

回答No.2

yuusukekyouju

底辺２で高さ１の直角三角形の高さ１に対する角をA
底辺３で高さ１の直角三角形の高さ１に対する角をB
としたとき
sin(A+B)=sinA×cosB+sinB×cosA
=1/√2・・・(1)式
となります。
A,Bともに0から45度の範囲であるので
A+Bは0から90度の範囲になります
このとき(1)式を満たすのはA+Bが45度の時のみとなります。

お礼

有難うございます。
三角関数の合成は未知として考えてました。
　複素平面で２＋ｉに３＋ｉを掛け５＋５ｉとなり、この偏角は４５度というようには考えてましたが。

回答No.1

coji314

座標でいうと原点（０，０）、Ａ（１，２），Ｂ（３，１）とするとき、△ＯＡＢが直角二等辺三角形になっていることがヒントです。

言葉では説明しづらいので、図を書いてみてください。

お礼

直角二等辺三角形になるというのが新たな発見でした。