三角関数の性質

質問

cos 23/18π=aとおくとき次の問いをaを使って示せ。
（１）　tan5/18π
これで　解いていくと 　tan^25/18π=1-a^2/a^2となるのですが
この後のtan5/18π=　にするまでの過程（でa＜0など　とするの）がわかりません。
教えて下さい。

回答No.2

noname#154783 · ベストアンサー

tan(5π/18) = tan(23π/18 - π) = tan(23π/18).

※tanの周期はπ．

1 + tan^2(23π/18) = 1/cos^2(23π/18) = 1/a^2.
∴tan^2(23π/18) = 1/a^2 - 1 = (1 - a^2)/a^2.

※ここまででtan(23π/18)は√{(1 - a^2)/a^2}か-√{(1 - a^2)/a^2}のどっちかだってとこまでは判りますので，プラスなのかマイナスなのかを決めなきゃなりません．

tan(23π/18) = sin(23π/18)/cos(23π/18)なのですが，
π < 23π/18 < 3π/2
なので，23π/18は第3象限の角といえます．したがって，
sin(23π/18) < 0,
a = cos(23π/18) < 0,
であり，
tan(23π/18) > 0.

※つまり，符号はプラスなんです．

∴tan(23π/18)
= √{(1 - a^2)/a^2}
= √(1 - a^2)/|a|
= -√(1 - a^2)/a.

※√(a^2) = |a|
なのですが，今の場合，a < 0なので，
|a| = -a
なんです．

お礼

どうもありがとうございました。
とっても分かりやすかったです。

回答No.3

noname#154783

すみません．ANo.2です．

ああ，そうそう，求めてるのは
tan(5π/18)
のほうでしたっけ．

tan(5π/18) = tan(23π/18) = -√(1 - a^2)/a

です．

お礼

有難うございます。

回答No.1

gohtraw

２３π／１８＝Θとします。すると５π／１８＝Θーπです。
ｔａｎ（Θーπ）＝ｔａｎΘ
　　　　　　　＝ｓｉｎΘ／ｃｏｓΘ　・・・（１）

ｓｉｎΘ＝±√（１－ｃｏｓ＾２Θ）
　　　　＝±√（１－ａ＾２）
ですが、Θの値よりｓｉｎΘ＜０なので（１）式は
－√（１－ａ＾２）／ａ

お礼

あろがとうございます。