有効数字の足し算

質問

(4.25-4.20)*23.5をどのように処理すればよいか。

=0.05*23.5
としてしまうと、桁落ちして0.05自体の有効数字は1ケタとなってしまう。
もし、これを1ケタとしてしまうと
=1.175
=1
で良いのだろうか。

分配すれば、
=4.25*23.5-4.20*23.5
=99.875-98.7
（98.7より、小数第1位が基準。99.875を基準より１ケタ多い第２位まで丸めて99.88）
=99.88-98.7
=1.18
=1.2
となるはず。

桁落ちする場合はどう判断すればよいのだろうか。

回答No.5

Tacosan · ベストアンサー

(4.25-4.20)*23.5
に出てくる数値が全て最小桁の 1つ下を四捨五入したものだとすると, それぞれ区間 [4.245, 4.255), [4.195, 4.205), [23.45, 23.55) の何かを表すということになる. つまり
([4.245, 4.255) - [4.195, 4.205)) * [23.45, 23.55)
という計算をしなきゃならない. これを計算すると
(0.040, 0.060) * [23.45, 23.55)
だから (0.938, 1.413)
となる. この範囲の数値を代表するものとして最も適切なのは
1
だね.

お礼

引き算を先にやった場合は、
おっしゃるとおり、0.938から1.413の範囲を示すものとしては、1の位がすでに不確かさを含むので、中央値1.1755について1の位の一つ下の小数第一位で四捨五入して１。
問題は、桁落ちをできるだけしないように考え直さなければならないのかどうか、というのが私の質問の主旨でございます。説明不足ですいません。

回答No.6

BASKETMM

No. 5 Tacosan の計算は正しいと思います。元の数字が誤差を含む物ですから、計算結果もある範囲に入るとしか言えないのです。

その範囲が (0.938, 1.413)であるとTacosan は主張されているのです。賛成です。

ではこの範囲であることを、何らかの数値で表すにはどうすればよいでしょう。

第１に範囲の中心は何処か。
第２に範囲の幅はいくらか。

中心は (0.938 + 1.413)/2 = 1.176（答えの大きさを表す）
幅は (1.423 - 0.938) = 0.485（答えの精度を表す）

有効数字という言葉も数値の精度を表します。しかし有効数字という言葉だけを取り出して議論するのは適切でないと私は考えます。

答えが 1 で、有効数字が一桁と云えば、答えは (1.5, 0.5) の間にあるいう主張になります。

答えが 1.175 で有効数字が三桁と云えば、答えは (1.225, 1.125)の間にあるいう主張になります。

と云うことで、tacosan が正しく出された、答えの存在範囲と異なってしまいます。

お礼

有効数字がある範囲を示す呼称だということは理解しております。
引き算を先にやる場合、誤差を含めて計算すればTacosan様のおっしゃる範囲となることも理解しております。
しかし、実際の運用（計算）では、Tacosan様のような計算はしないわけで、便宜上、
(4.25-4.20)*23.5=0.05*23.5=1
とやる。ご回答者様もこれと同意見であろうかと思います。
では、(4.25-4.20)*23.5=4.25*23.5-4.20*23.5=99.9-98.7=1.2
に関してはいかがですか。これも正しいはずです。
桁落ちする場合は、精度ができるだけ低くならない計算方法を考え直して計算すべき、というのが大正解だと思うのですが、たいへん面倒ですね。

回答No.4

noname#157574

No.2です。計算方法に誤りがありました。正しくは有効数字に注意して，
　(4.25-4.20)×23.5
=4.25×23.5-4.20×23.5
=99.875-98.700(98.7にあらず)
=99.9-98.7
=1.2
です。

お礼

たびたびありがとうございます。
ご回答中の「98.7にあらず」という部分が依然としてわかりませんが、
どこで丸めるかという違いはあるものの、私の質問中の答えが1.2になる場合とほぼ同じと解釈いたします。

何にせよ、ポイントは、できる限り桁落ちの影響がでない方法で計算する、ということなんでしょうね。

回答No.3

k_kota

分配するのは正しいですけど、1.175の手前の時点で有効数字は1の位までで、それ以降は精度が保証されていない。
よって1以下の値は保証されない。
なので1と言うのが正しい。

お礼

回答ありがとうございます。

分配している場合は、小数第1位まで有効としても良いと思いますが間違っていますか。

桁落ちが発生した場合は、分配するなどできるだけ精度を落とさない計算を考え直してみる、というのがご回答の主旨でしょうか。

回答No.2

noname#157574

No.1です。正しい計算は次のようにします。
　(4.25-4.20)×23.5
=4.25×23.5-4.20×23.5
=99.875-98.700(98.7にあらず)
=1.175

お礼

つまり答えは1.175ということでしょうか。

なぜ、98.700なのでしょうか。
途中計算だから、4.20*23.5=98.70と有効数字を1桁多めに計算する、というのならわかりますが、98.700とする理由は何ですか。

回答No.1

noname#157574

この場合，分配するのが正しい計算法です(桁落ちを少しでも小さくするため)。

お礼

回答ありがとうございます。
しかし、実際、化学などの問題を解く際、いちいち分配はしませんよね。
それでも、なるべｊく桁落ちを避けるように計算する、というのが正しいのでしょうか。