∈ と ⊂ のはっきりとした違い

質問

英語圏に住んでいる者です。
高２になる息子の数学で質問があります。
数年前に習った事でものすごく基本的な事なのですが、∈　（Element of）と　⊂（subset of）　の違いが　なんとなくわかってるけど、はっきりわからないのです。
日本やこちらのウエブサイトも何度も見ました。しかし、すっきりしません。
息子に聞いても「、、わかると思う」。
息子は{　　}がついてれば⊂で答え、ついていなければ∈と答える様にしてるみたいです。
例、　　{９}⊂{ multiples of 3}　　　２∈{２，４，６}

”こんなんでいいのかな？？”と思ってましたが先日案の定　学校でこういう問題が出てきました。
N(natural numbers) ?　 W(whole numbers) 　　　息子はNに{　　}がついていないのでN∈Wと答えましたが正解は　N ⊂　Wでした。私も息子と同じ考えでした。

∈　（Element of）と　⊂（subset of）　の違い、どなたかはっきりわかる様に教えて頂けませんか？　宜しくお願い致します！

回答No.1

ppyiam · ベストアンサー

element＝要素というのは集合のそれぞれの構成物のことを指します。
例えば、集合{２，４，６}の要素は2,4,6です。
これらの個々の構成物がもとの集合にふくまれているというときに∈の記号を使います。
subset＝部分集合というのはある集合の中に含まれるさらに小さな集合のことです。
例えばＮという集合はＷという集合の中に含まれる集合です。
ある集合が、より大きなくくりの集合の中に含まれるというときに⊂の記号を使います。

{}がついていないかで判断するのはある意味では正しいです。例えば{9}というのは、[要素が9の集合」という意味になるので　{9}⊂{ multiples of 3}　で正しいのです。
{}がついていないと9は要素そのものを指しますので 9 ∈{ multiples of 3}　と書かなければなりません。

まとめると、集合と要素に関しての関係のときは∈、集合と集合の関係の時は⊂を使うということです。

お礼

わかりやすく説明して頂いて有難うございました。
特に
＞{}がついていないかで判断するのはある意味では正しいです。例えば{9}というのは、[要素が9の集合」という意味になるので～
これではっきりしました。数年越しのもやもやが解決しました！

回答No.4

Tacosan

#2 の通りです. 文脈で「要素」なのか「部分集合」なのかを判断してください.
「A が B の要素」なら A ∈ B, 「A が B の部分集合」なら A ⊂ B.

それとは別に, 最後の例で「N」とか「W」とかがその記号自体で集合だということをきちんと認識できないとだめです. 「{ }」がついていようとついていまいと「集合」は「集合」です.

お礼

要素、又は部分集合の違いですね。こうやって説明して頂くとよくわかります。
N　などがその記号自体で集合であるという事、きちんと認識できていませんでした。
有難うございました。

回答No.3

masudaya

∈は，集合の要素と集合に対して用いられます.
⊂は，集合と集合に対して用いられます.

例えば
リンゴ∈果物 ですが，
柑橘系⊂果物 のような感じでしょうか.

お礼

林檎や柑橘系などの身近にあるものを例に出して頂くと、私の様な数学レベルの者には大変分かりやすくありがたいです。
リンゴ∈果物 　柑橘系⊂果物 これ覚えときます。
有難うございました。

回答No.2

kabaokaba

＞∈　（Element of）と　⊂（subset of）　の違い

ご自分で書いているとおりです．
elementとsubsetの意味がわかるかどうかだけです

集合は要素で構成されています．
したがって，要素xが集合Xに属すのであれば
x is a element of X.
であるので
x ∈ X
です．また，要素が集まれば集合になるので
ある集合Xに含まれる要素から構成される集合Yがあれば
YはXの部分集合(subset)であり
Y is a subset of X.
であるので
Y ⊂ X
です．

要は，要素であるか集合であるかを
文脈から理解すればいいだけあって
単に { } があるからとかいう問題ではありません．
集合そのものが要素である集合だってあります．
例
1 ∈ N (Natural number)
{1} ⊂ N
N ⊂ Z (Integer)
{1,2} ∈　{{1}, {1,2}, {1,2,3}}
{ {1,2} } ∈ {{1}, {1,2}, {1,2,3}}

お礼

丁寧に返答して頂いてありがとうございます。
集合そのものが要素である集合のところは少し時間をかけて理解しようと思ってます。
勉強になります。