熱伝導方程式

質問

長さＬの一様な金属棒（両端の温度は常に0）において、
ｆ(x)=x (0＜x＜L/2)
=L-x (L/2＜x＜L）
このとき、u(x,t)は、
(1).{(x,t):0＜x＜L, t＞0}上で連続
(2).u(0,t)=0, u(L,t)=0
(3).u(x,0)=f(x)
熱伝導方程式をみたすu(x,t)を求めよ。
また、t→∞のときの温度分布は？

回答No.3

grothendieck

cにkが添字としてついているものをc_kと表わしました。それ以上の意味はありません。(一般に使われているわけではありません)
　Σc_k
と書いてあると，k=0,1,2…について和を取ることになります。

回答No.2

grothendieck

すみません。さきほどの私の解答で
　f(x+1/2)
となっているところはf(x+L/2)に訂正させて下さい。
t→∞のときの極限ではexp(-c_k^2・t)がありますので
　u(x,t)→0
c_k^2は(c_k)^2の意味です。

回答No.1

grothendieck

座標を+方向にL/2移動して原点に関して対称にします。さらに簡単のため熱伝導方程式
　　∂u/∂t = a^2∂^2u/∂x^2 …(1)
においてa=1とします。初期条件が偶関数なのでフーリエcos級数で表わされ，さらに境界条件より
　u(x,t) =Σa_k(t)cos(c_k・x)　　(k=0,1,…)
　　ただし　c_k = (2k+1)π/L
と仮定できます。これを(1)に代入すると
　da_k/dt = -c_k^2・a_k
よって
　a_k(t) = b_k・exp(-c_k^2・t)　(b_kは定数)
t=0とおくと
　f(x+1/2) =Σb_k・cos(c_k・x)　(x+1/2となっているのは座標軸を平行移動したため)
この式の両辺にcos(c_j・x)をかけて、-L/2からL/2まで積分すると
　左辺=2(1/c_j)^2
　右辺=(L/2)b_j
よって
　u(x,t) =Σ(4/L)(1/c_k)^2・exp(-c_k^2・t)cos(c_k・x)　　
となります。計算間違いをしているかも知れませんがプロットしてみたらそれらしい形にはなりました。

お礼

ありがとうございました。
ところで、c_kの_の意味は何ですか？