文字数の範囲が決まっているときの以下の値の範囲

質問

はじめまして。

-1≦a≦1 , -1≦b≦1 , -1≦c≦1 , -1≦d≦1
であるときに、
(1-ac-bd)/2という数値の範囲は求めることができますでしょうか？

（問題として成立しているわけではなく、ただ単に求めることが出来るか疑問に思った式ですので、求めることができないかもしれません。。。）

恐れ入りますが、ご回答いただけると幸いです。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

少し分解してみると、acと bdのそれぞれについて、とりうる値の範囲が分かればよいですね。
acと bdはそれぞれ独立している（互いに関係を持っていない）ので、acについて考えることにします。

0≦ a≦ 1, 0≦ c≦ 1について、相加・相乗平均の関係を用いれば
(a+ c)/2≧ √(ac)

両辺を 2乗して
ac≦ 1/4* (a+ c)^2

これから a＝ c＝ 1のとき、acは最大値 1をとることがわかります。

あとは、-1≦ a≦ 0や -1≦ c≦ 0となるときを考えるのですが、
f(a, c)＝ ac（aと cが変数）となる関数で考えれば、次の関係が導かれます。
(1) f(a, -c)＝ -ac＝ -f(a, c)
(2) f(-a, c)＝ -ac＝ -f(a, c)
(3) f(-a, -c)＝ ac＝ f(a, c)

(1)と (2)からは最小値が -1であること。
(3)からは上のときと同様に最大値が 1であることが示されます。

結果、-1≦ ac≦ 1, -1≦ bd≦ 1であることがわかります。
あとは、あてはめて計算するだけですね。＾＾

お礼

みなさんありがとうございました！

非常に参考になりました、色々な考え方を提示していただき尚更です♪

回答No.4

mister_moonlight

みんな、ごちゃごちゃやってるが、シュワルツの不等式であっさり解決。

シュワルツの不等式から　(a＾2+b＾2)*(c＾2+d＾2)≧(ac+bd)＾2　‥‥(1)、等号は、bc＝adの時。
-1≦a≦1 , -1≦b≦1 , -1≦c≦1 , -1≦d≦1　という条件から、0≦a＾2+b＾2≦2、0≦c＾2+d＾2≦2　‥‥(2)
よつて、4≧(a＾2+b＾2)*(c＾2+d＾2)≧0
1-ac-bd＝2Ｐとすると、ac＋bd＝1-2Ｐ。
(1)と(2)から、4≧(a＾2+b＾2)*(c＾2+d＾2)≧(ac+bd)＾2　→　(1-2Ｐ)＾2≦4　であるから、
-1≦2Ｐ≦3　→　-1/2≦Ｐ≦3/2。

最大値と最小値を与えるのは？

回答No.3

nattocurry

-1≦a≦1、-1≦c≦1、なので、-1≦ac≦1
-1≦b≦1、-1≦d≦1、なので、-1≦bd≦1

-1≦ac≦1、なので、-1≦-ac≦1
-1≦bd≦1、なので、-1≦-bd≦1

-2≦-ac-bd≦2
-1≦1-ac-bd≦3
-1/2≦(1-ac-bd)/2≦3/2

回答No.1

gohtraw

ａｃ、ｂｄが最も大きいとき（１－ａｃ－ｂｄ）／２は最小
ａｃ，ｂｄが最も小さい時（１－ａｃ－ｂｄ）／２は最大
です。与えられた範囲よりａｃ、ｂｄの最大値は１、最小値はー１ですから・・・。