あみだくじの問題です。

質問

あみだくじの問題です。　

大学数学の範囲です。　

40人のクラスで席替えをあみだくじをする。
横本が２１本のあみだくじと横本が４０本のあみだくじでは結果が、絶対に同じ結果になることはないことを示してください。　

よろしくお願いします。

回答No.4

alice_44

偶置換の集合は、対称群の部分群だが、
奇置換の集合は、群にならない。
２個の奇置換の積は、遇置換だから。

とはいえ、置換の遇奇を区別する話は、
No.3 の言うとおりだ。

回答No.3

nag0720

置換群の問題でしょうか。
偶置換の集合と奇置換の集合がそれぞれ部分群になることから説明できると思いますが、
高校生でもわかるように説明するとしたら、

縦線40本に1,2,3,・・・と番号を付けます。
(1,2,3,4,・・・,40)
この状態のとき、
各位置の数に対し、それより大きい数が右側にいくつあるかを調べると、
1の右側には、2～40の39個
2の右側には、3～40の38個
39の右側には、40の1個だけ
その合計の偶奇は、39+38+37+・・・+1=780　で偶数です。

この状態から、40人が同時にあみだくじの線を辿っていくとします。
横線が１本あるということは、その両端の数が入れ替わるということになります。

もし最初に、縦線1と2の間に横線があったら、
(2,1,3,4,・・・,40)　となり、
上記と同じように偶奇を調べると、
2の右側には、3～40の38個
1の右側には、3～40の38個
それ以外は同じなので、38+38+37+36+・・・+1=779　で奇数。

つぎに、縦線2と3の間に横線があったら、
(2,3,1,4,・・・,40)　となり、
2の右側には、3～40の38個
3の右側には、4～40の37個
1の右側には、4～40の37個
それ以外は同じなので、38+37+37+36+・・・+1=778　で偶数。

一般化して、
(a1,a2,a3,・・・,a40)
の状態のとき、a[k]とa[k+1]が入れ替わったとき、
a1～a[k-1]とa[k+2]～a40の右側の大きい数は同じ。
a[k]＜a[k+1]の場合
入れ替わったあとは、a[k]の右側の大きい数は１つ減り、a[k+1]の右側の大きい数は変化なし。
a[k]＞a[k+1]の場合
入れ替わったあとは、a[k+1]の右側の大きい数は１つ増え、a[k]の右側の大きい数は変化なし。
よって、どちらの場合でも、右側の大きい数の個数の合計の偶奇が変化します。

以上から、
横線が21本の場合は、右側の大きい数の個数の合計は奇数、
横線が40本の場合は、右側の大きい数の個数の合計は偶数となり、
どのように横線を引いたをしても、両者が同じになることはありません。

回答No.2

nattocurry

たびたびすみません。

横本の数の差が偶数の場合は、同じに結果になる可能性はある。
だけど、横本の数の差が奇数の場合は、同じ結果になる可能性はない。

ということを、どうやって証明するかですね。

回答No.1

nattocurry

大学数学レベルでどのように証明すれば良いのか解りませんが、横本？が奇数本のあみだくじと、横本が偶数本のあみだくじでは、同じ結果になりませんよね。
そこに着目すれば良いと思います。