高校数学，満たす (x, y) の組み…難問？

質問

立ち読みしていただけなので，問題が非常に曖昧ですが，回答頂ければ助かります。

x^3 + y^3 - 2x^2 y -1 = 0 を満たす組み(x,y)を求めよ。
(整数の組みだったか，満たす組みだったのか，記憶が曖昧です；)

私は，これを [x^3-1] の因数分解の公式に二通りに項をまとめて，とりあえず２つの組みは求めました。
ですが，それがこの組みに当て嵌まる全ての組みなのか分かりませんし，この方法では確かめる術がありません。
この問題にないにしろ，このような「満たす組みx,y」はどのように解けば良いかも，教えて頂けると助かります。

本当にこの２組しかないか，x^3 + y^3 = k，2x^2 y + 1 = k とおき，それぞれのグラフの共有点の個数を調べようとしましたが，失敗しました…。

数学またはこの手の話題に詳しい方，ご指南頂けると助かります。

回答No.1

boc4326 · ベストアンサー

おそらく整数の組みを求める問題でしょう。
でないと無数に解が出てしまいますから。

とりあえずこの問題は典型的な整数問題なので、
積＝定数(整数)の形にもっていきます。

この問題ですと、
x^3+y^3-2x^2y-1=0から
x^2(x-y)-y(x^2-y^2)=1
x^2(x-y)-y(x+y)(x-y)=1
(x-y){x^2-y(x+y)}=1
(x-y)(x^2-xy-y^2)=1
ここで、x,yは整数ですから(x-y),(x^2-xy-y^2)も整数になります。
ですから、これらの積が1となるのは、
(x-y,x^2-xy-y^2)=(1,1),(-1,-1)
の場合となります・・・・・

ここからはご自分でやってみてください。
あとは単なる連立方程式です。

この手の問題は、大体今のやり方で解けるでしょう。
グラフでは求められませんね＾＾；

では、参考までに。

お礼

あったま良い！
回答に大満足です。どうもありがとうございました。