連立方程式x^2+y^2=1...(1)、x+y=1...(2)

質問

連立方程式x^2+y^2=1...(1)、x+y=1...(2)
をとけ。
２つI、IIの同値関係が考えられると思うのですが、
Iのほうが正しくて、IIのほうは間違っていると
見抜けないと間違った方で計算して言ってしまうことになります。
この場合は簡単な式なので、分かるのですが、判断しづらいとき
もあります。同値の関係式を作っていく上でどんなことに
注意していけばよいのでしょうか。よろしくおねがいします。
(1)と(2)から、x^2-x=0...(3)
I(1)かつ(2)<->(2)かつ(3)
II(1)かつ(2)<->(1)かつ(3)

回答No.5

vigo24 · ベストアンサー

(1)をf(x,y)=0, (2)をy=g(x)とすると
(1)に(2)を代入した(3)はf(x,g(x))=0となります。
この時(2)と(3)からは(1)が導けますが、(1),(3)からは必ずしもy=g(x)とならずに
例えば今回の場合はy=±(1-x)となってしまうということです。

お礼

納得いく回答ありがとうございました。
同値になるために式の組み合わせ方に
注意しなければならないとこの理由が
分かり、よかったです。

回答No.4

vigo24

連立方程式の同値変形では、
加減法と代入法があります。

あなたは(3)を導くのに(2)式より「y=・・・」の式を(1)に代入しているので代入法を使っています。
代入法では
「元の式（この場合は(1)∧(2)）」
⇔「代入されてできた式（この場合は(3)）∧代入した式（この場合は(2)）」です。

お礼

回答ありがとうございます。
同値関係をつくるためには、代入した式との組み合わせに
なるということですね。
そう考えなければならない理由があれば、助かるのですが。。。

回答No.3

spring135

No.1です。
(3)は整理した結果だったのですね。
その意味で、間違いではありません。
失礼しました。

(2)かつ(3)
ではx+y=1からy=1-xとして
(3)の解x=0,1
を代入してy=1,0
これは正しい。図を描いてみても解ります。

(1)かつ(3)
で間違った解(0、-1）が出る原因は以下のとおりです。
(1)に(2)からy=1-xとして(3)を得ているのですが
y^2を代入するところが曲者で
この場合
y=-(1-x)
も許しています。
(0、-1）はこの解です。

(2)かつ(3)でこれが出なかった理由は
(2)を用いることによってy=-(1-x)の場合を排除しています。

従って、同値性を考えて(1)かつ(3)の場合に
y=-(1-x)を排除する条件を付け加えておく必要があります。
これも図を書いて考えれば明らかです。

全ての条件を図示することは難しい場合もありますが、
実数条件が絡む場合は図示が有効です。

お礼

ご指摘のように、図示することが難しいことや、逆に
連立方程式を解くことによって、グラフの交点をもとめ
たり、式の同値性からグラフの位置関係を考える順序をとることが
多いようにおもいます。
連立方程式を解く時、同値関係にある式をつくるにあたって、式の組み合わせ方
で大切なことはあるのでしょうか。

回答No.2

askaaska

(1)式と(2)式はともに
xとyが条件付けられているけど
(3)式はyが条件付けられていないわ。
よって(3)式は同値条件を語る上で十分ではないわ。

どうしても(3)式を使いたいのであれば
同時にy^2-y=0も語る必要があるわね。

お礼

回答ありがとうございます。
Iは、(3)を使っているし、y^2-y=0は語っていない。
しかし、同値関係で正しい。
別の言い方をすれば、なぜ、IIではy^2-y=0の条件を付け加えないと
同値にならないか。(3)式はyが条件付けられていないというのは、
その理由にはならないように思うのですが。
よろしくおねがいします。

回答No.1

spring135

(3)が間違っています。

同値関係としてはＩ，ＩＩとも正しい。
Ｉのほうが使いやすい

お礼

Iからは、(0,1)(1,0)がでるが、
IIからは、(0,1)(0,-1)(1,0)がでると
思うのですが、よろしくお願いします。