Iを単位行列とする。
(1)
まず、固有方程式f(x)=det(xI-A)を計算する。
サラスの展開を用いる。
f(x)
=(x-3)^3+1+1-(x-3)-(x-3)-(x-3).
=(x-3)^3-3(x-3)+2
=x^3-9x^2+24x-16
=(x-1)(x-4)^2
固有値は1,4.
(2)
固有値1に対する固有ベクトルを求める。
3x-y-z=x
-x+3y-z=y
-x-y+3z=z
計算するとx=y=z.
固有ベクトルは、横書きすると(1,1,1).
固有値4に対する固有ベクトルを求める。
3x-y-z=4x
-x+3y-z=4y
-x-y+3z=4z
計算するとx+y+z=0.
固有ベクトルは、(-1,1,0)と(-1,0,1).
(3)
<,>は内積をあらわす。
a=(1,1,1)とb=(-1,1,0)とc=(-1,0,1)にシュミットの直交化を適用する。
d=a/root{3}.
b-<d,b>d=b.
e=b/root{2}.
c-<d,c>d-<e,c>e=c-b/2=(-1/2,-1/2,1).
f=(-1,-1,2)/root{6}.
求める直交行列は(d,e,f).
d,e,fは縦ベクトルだとみなしてください。
