線形代数の問題が分かりません

質問

線形代数の問題が分かりません
途中計算を含めて、解説お願いします

回答No.1

tmppassenger

どうしよう... さすがにレポートについて丸投げというのは困るので... 簡単なヒントだけ出しますので、一度ご自身で解いてみて、どこまで解いたかと、分からない所を補足に下さい。

A.1
(1) WがR^3の部分集合であることは明らかなので、後は定義にしたがい、WがR上の線形空間であることを示せば良い。
(2) dim(W) = 2であることを示せばよい。Wの基底を求めよ。

A.2.
(1) √d∈Q とすると、互いに素な正整数m, n を用いて √d = m/n と書ける。これから矛盾を導け。素因数分解の一意性を用いるのがよい。
(2) ほぼ自明。
(3) (1)からほぼ自明。

A.3.
Aは対角化出来る。Aを対角化してn乗してもよいし、x^nをAの最小多項式で除した剰余を使ってもよい。