(2-x+3/x^3)^7を展開した場合の定数項はどのように求めればよ

質問

(2-x+3/x^3)^7を展開した場合の定数項はどのように求めればよいのでしょうか？

回答No.1

Hyokko_Lin · ベストアンサー

一般的に、(a+b+c)^nを考えると、
(a+b+c)^n=(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)……(a+b+c)
より、展開した時に現れる項は、一つ一つのかっこから、a、b、cのどれかを選び出して掛け合わせたものになります。

(a^p)*(b^q)*(c^r)の項を考えると、(p+q+r=nです)
それらの項はn個の中から重複を許してp個、q個、r個ずつ取ってきて並べた順列の分だけあるので、
n!/(p!*q!*r!)*(a^p)*(b^q)*(c^r)
になります。

この問題で定数項になるのは、
(1) 7つのかっこですべて「2」を選んだもの
(2)「2」を3つ、「-x」を3つ、「3/x^3」を1つ選んだもの
になります。

(1)：7!/(7!*0!*0!)*2^7*{(-x)^0}*{(3/x^3)^0}=2^7=128
(2)：7!/(3!*3!*1!)*2^3*{(-x)^3}*{(3/x^3)^1}=140*8*(-1)*3=-3360

答えは、(1)+(2)で
128-3360=-3232
です。

お礼

分かりやすい解説、本当にありがとうございました。
非常に助かりました。