場合の数と確率

質問

問題：白球４個と黒球５個を入れた袋から同時に５球を取り出す時、白球２個、黒球３個が取り出される確率を求めよ。

という問題の解説で、
４c２×５c３／９c５＝６×１０／１２６
とでていました。

９c５＝１２６をすぐに出す方法がわかりません。どうか、教えてください！！おねがいします。
（cをはさむ数字は本当は小さく書いてあります）

回答No.7

a-kuma · ベストアンサー

> 順列の意味がわかりません

「順列」は、順序を意識した並べ方です。

取り出した順番が違っていれば、それは、別の順列になります。

球に背番号が書いてあると思ってください。
９個から２個取り出すとき、例えば、(3)と(5)の順番で
取り出したのと、(5)と(3)の順番で取り出したのは、順列では
別で扱い、組み合わせでは同一で考えます。

順列の数の公式は nＰr ＝ n(n-1)(n-2)…(n-r+1)です。

９個から５個取り出す場合を考えると、最初の一個目は
９通りあります。二個目は（もう一個取り出してあるので）
８通りあります。ここまでで、９×８通りの取り出し方があります。

そうやって順次、５個目を取り出すまで考えると、
9Ｐ5 ＝ ９・８・７・６・５
となります。

お礼

何度も回答していただいて、ありがとうございます！
やはり、基本ができてなかったようです。やっとわかりました！！ありがとうございました。

回答No.6

a-kuma

> 上記の計算で、なぜ分数（９・８・７・６・５／５・４・３・２・１）にして計算してあるかが分りません。

順列はわかりますか？
わかるとして、ちょっと説明します。

９個から５個取り出す順列は、９・８・７・６・５ですね。
その順列の数のうちには、同じものが取り出されていて、
その順番だけ違うものが ダブって カウントされてます。

組合わせの場合には、その取り出した５個の順番は関係ない
ので、その ダブり の分を減らさなければいけないですね。

ダブり は、取り出した５個がどうならんでいるか、ということ
なので、５個から５個取り出す順列になります。

なので、

　　　　9Ｐ5
9Ｃ5 = ───
　　　　5Ｐ5

というわけです。

補足

回答ありがとうございます！！
すみません。。。順列の意味がわかりません。
数学から離れていた期間が長く、すっかり忘れてしまっているようです。
できれば説明をお願いします。

回答No.5

gokkun

>上記の計算で、なぜ分数（９・８・７・６・５／５・４・>３・２・１）にして計算してあるかが分りません。
>そういう公式があるのでしょうか？？おしえてください。

高校の数学の確率で習う公式です。

お礼

回答ありがとうございます！
基本的な事が分って無いと言う事が分りました。

回答No.4

noname#1499

・計算方法はa-kumaさんのとおりです。ですから、覚えやすい計算方法の補足です。

（左側の数）Ｃ（右側の数）

例１　　９Ｃ５
例２　　５Ｃ３
の計算方法は、

[分子]＝左側の数をふくめて右側の数個ぶんだけ掛けます。
例１　　９、８、７、６、５　の５つの数をかけます
例２　　５、４、３　の３つの数を掛けます
[分母]＝右側の数から１になるまでかけます。
例１　　５、４、３、２、１　を掛けます
例２　　３、２、１　を掛けます

・分母がなぜ９ｃ５になるかについて

取りあえず９個入っている袋から５個取り出す方法が考えられる最大条件です。それをまず洗い出してみようと言うことです。９個から単に５個とればよいので順番にはよらないはずですよね。分かりやすく目隠ししてみましょう。この問題で、目隠ししてはいけませんとは書いていないので。五個のうち一個取り出してもそれが黒か白かそして中に残っている球があと何個白で何個黒かってことは分からないですよね目隠ししているのですから。分からないならそんなことは考えなくていいのですよ。もちろん、目隠ししてなくても回答は同じです。考え方のエッセンスは上述の通り、最大条件を洗い出しているということです。

お礼

回答ありがとうございました。とてもわかりやすかったです！

回答No.3

Hyper30

私が質問の意味を取り違えている可能性が大きい気がしましたが、
書いてしまったのでどうか載せさせてください。

9C5とは、9人から5人を選ぶ選び方の総数(人じゃなくてもいいですが)
ですね。
まず、1から5まで番号がついたイスに座らせるやり方を求めると、
1番には、9人の誰でもいいので、9通りあります。
2番には、1番に座らせた人以外の8人の内から選ぶので、
1番の人を決めるごとに8通りあります。
ここまでで 9*8=72通り ありますね。
樹形図だと、9本の枝があって、それぞれの枝から8本延びてます。
3番には、1番と2番に座らせた人以外の7人の内から選ぶので、
1番と2番の人を決めるごとに7通りあります。
ここまでで、72*7=504通り ありますね。
樹形図だと、72本の枝があって、それそれの枝から7本延びてます。
以下同様なので 9*8*7*6*5 通り(Aとおきます)です。

ところで今求めたのは、同じ五人でも座る順番が違うのは、
違う座らせ方、と数えてますよね。
(この数は9P5と書きます；Pはpermutation)
本来の目的からは数えすぎなので、どれくらい数え過ぎかもとめます。
5人組を一つ決めたとき、その5人組が座ってるパターンは何回あるか
というと、上のやり方と全く同じで 5*4*3*2*1 通り(Bとおきます)あります。
1組につきBだけ数えた結果がAなので、組はA/B通りあるのです。

*は×の意味です。

お礼

詳しい回答ありがとうございました！

回答No.2

gokkun

ＣはCombination(コンビネーション)のＣです。
(高校の数学で習います)

計算は
４c２＝４ｘ３／２ｘ１＝６
５c３＝５ｘ４ｘ３／３ｘ２ｘ１＝１０
９c５＝９ｘ８ｘ７ｘ６ｘ５／５ｘ４ｘ３ｘ２ｘ１＝１２６
となります。

お礼

回答ありがとうございました。基本的な事が分って無かった様です。やっと分るようになりました。

回答No.1

a-kuma

分母が 9Ｃ5 であることが分からないのでしょうか？
それとも 9Ｃ5 が 126 だと計算する方法を聞いているのでしょうか？

後者だとして、回答します。
地道に計算しましょう。

　　　　9 × 8 × 7 × 6 × 5
9Ｃ5 ＝ ───────────
　　　　5 × 4 × 3 × 2 × 1

ですよね。約分すると、５が消せて、８と４×２が消せて、６と３で
２になって、

9Ｃ5 ＝ 9 × 7 × 2

ですよね。14 × 9 なら、暗算でも何とか　:-)

補足

早速の回答ありがとうございました！９c5が分母になる事は分ります。

上記の計算で、なぜ分数（９・８・７・６・５／５・４・３・２・１）にして計算してあるかが分りません。
そういう公式があるのでしょうか？？おしえてください。