アフィン写像について

質問

アフィン写像について
アフィン写像の説明で、
アフィン写像は、アフィン空間の構造を保つような写像のことである。
とくに始域と終域が同じであるようなアフィン写像をアフィン変換という。
という説明があったのですが、
始域と終域が同じとはどのような事なのでしょうか？
同一集合（次元が同じ？）のことを指しているのでしょうか？

また、私の認識では、アフィン変換が作用する先はベクトル空間だと思うのですが、
アフィン空間の構造を保つと言うからにはアフィン変換の作用先はアフィン空間なのでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.12

muturajcp · ベストアンサー

f:X→Y
f(x)=g(x)+c
で
X=Y同一集合であってもgが正則線形変換を満たさなければ、fは全単射とならない。
また、逆写像f^{-1}はfが全単射で
X≠Y同一集合でない場合のf^{-1}で,
逆変換f^{-1}はfが全単射で
X=Y同一集合である場合
のf＾{-1}である
との解釈で正しい
つまり逆写像と逆変換は同一集合かそうでないか
で言葉として
使い分けられると解釈してよい

補足

いつもご回答本当にありがとうございます。
理解する事ができました。

本当にありがとうございました。
因に、別質問なのですが、射影変換についてもご回答頂けると有り難いです。
URL:http://okwave.jp/qa/q6043704.html

この度は、本当にありがとうございました。

回答No.1

kabaokaba

＞また、私の認識では、アフィン変換が作用する先はベクトル空間だと思うのですが、
まったく違います．

＞アフィン空間の構造を保つと言うからにはアフィン変換の作用先はアフィン空間なのでしょうか？
当然です．

あなたの採用している「アフィン空間」及び「アフィン写像」の定義は何ですか？
きっちり定義を理解すれば
でてくるはずのない疑問なのです．
定義を妙に解釈してませんか？

線形写像のほうもそうだけども
どうにも定義をきっちり理解していないで
妙な解釈をしたり，定義を理解したことを前提にしたことを
理解せずに進んでいるように思います．

ということで，あなたの採用している
「アフィン空間」「アフィン写像」の定義を補足にどうぞ．
＃なお，始域・終域が一致するアフィン写像をアフィン変換というのは
＃ただしい定義ですし，アフィン写像はアフィン空間の構造を保つというのも
＃ただしい言及です．

補足

いつもご回答ありがとうございます。

アフィン変換の定義：
体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、
x,y∈V, a,b∈K, について a+b = 1 のときは f(ax + by) = a f(x) + b f(y) が成り立つもの。

ベクトル空間のアフィン変換で変換される空間をアフィン同値と言いいます。
このアフィン同値な空間がアフィン空間だと思います。
例えば、ベクトル空間Vにおいて、任意のアフィン変換fについて、W=f(V)となるとき、WとVを同じ空間だと見なす。
ただし、アフィン変換で変換された空間Vは一般的には線形空間とはならない。
このことから、アフィン変換の作用先はベクトル空間だと認識していました。