磁気双極子に働く力

質問

磁気双極子に働く力

磁場Hの中に磁気モーメントpをもつ磁気双極子を置いたときに磁気双極子に働く力Fは、なんで、
F=∇(p・H)
なんでしょうか？

回答No.4

yokkun831 · ベストアンサー

r~がそのまま位置ベクトル変数（すなわち座標変数と同値）であるように見えてしまうので，誤解されているのかもしれませんが，上のa~をr~と置き換え，Δr~=(r~ - a~)と置き換えたに過ぎません。この表現の方が物理では多く見かけます。なぜなら，r~がわずかΔr~だけ変位したときの関数の変化を知りたいわけですから。

上からまっすぐ下が導出されているのではなく，よく使われる表現に書き直しただけです。

お礼

まだ納得はできていませんがありがとうございました。

回答No.3

yokkun831

上のテーラー展開においては，

r~ = a~ + (r~ - a~)

つまり，f(r~)をr~とわずかに差のあるa~のまわりで展開しています。

下は，f(r~+Δr~)をr~+Δr~とわずかに差のあるr~のまわりで展開したのです。

上　　→　　下
a~　　→　　r~
r~　　→　　r~+Δr~
r~-a~　→　　Δr~

という対応になっています。O（Δr^2)は，２次以上の項を微小量としてまとめたもので，これはおわかりですね？

補足

なぜ、r~のまわりで展開するというのが分るんでしょうか？
aで展開するのは分りますが、f(r+Δr)がなんでrのまわりで展開するのかが分りません。

回答No.2

yokkun831

>H~[r~±d~/2] ≒ H~[r~] ± (d~/2・∇)H~
この部分はどのようにだしたんでしょうか？

多変数関数のテーラー展開を用いて，１次の微小量までをひろいました。
下記など，参考になりましたら。なお，「多変数関数　テーラー展開」で検索すると参考になるページがいろいろ出てきます。

http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/34.html

なお，老婆心ながら…　(d~/2・∇)H~　この部分はやっかいな形をしていますので，その意味は注意深く読み取る必要があります。

補足

f(r+Δr)=
と言うところ当たりが分りません。
他のテイラー展開は分りましたがここだけ分りません。

回答No.1

yokkun831

以下，「~」でベクトルを表します。
位置r~の磁場をH~[r~]とします。また，磁気双極子モーメントp~ = m d~ とします。
d~はr~に比べて微小と考えて，微小量に関して１次までの近似をとると，

H~[r~±d~/2] ≒ H~[r~] ± (d~/2・∇)H~

と書けます。したがって，求める力は

F~ = m H~[r~+d~/2] - m H~[r~-d~/2]
　= m{ H~[r~] + (d~/2・∇)H~ } - m{ H~[r~] - (d~/2・∇)H~ }
　= 2×m(d~/2・∇)H~
　= (p~・∇)H~

一方，ベクトル解析の公式により

∇(p~・H~) = (H~・∇)p~ + (p~・∇)H~ + H~×(∇×p~) + p~×(∇×H~)

p~は定ベクトルなので第１・３項はゼロ。
また，マクスウェル方程式より位置r~には電流も変位電流も存在しないので
∇×H~ = 0
したがって，

F~ = ∇(p~・H~)

となると思います。

補足

H~[r~±d~/2] ≒ H~[r~] ± (d~/2・∇)H~
この部分はどのようにだしたんでしょうか？