因数分解の問題について質問です。

質問

因数分解の問題について質問です。
答えがなく、質問出来る人がいないため、とても苦戦しています。

a(a-2b)x^3-2(a^2-ab+b^2)x^2y+(a^2-ab+b^2)xy^2+b(a+b)y^3

です。

すみませんが、誰かわかる方、解く方法込みで教えて下さい。
(式だけでも結構です)

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

x,yについては3次式、a,bについては2次式です。
次数のより低い変数で式を整理することが因数分解の定石です。

a,bについて式を整理すると
a(a-2b)x^3-2(a^2-ab+b^2)x^2y+(a^2-ab+b^2)xy^2+b(a+b)y^3
=(a^2)x(x-y)^2-ab(x-y)(2x^2+y^2)-(b^2)y(2x+y)(x-y)

共通因数(x-y)を括って
=(x-y){(a^2)x(x-y)-ab(2x^2+y^2)-(b^2)y(2x+y)}

a,bについてたすき掛け法を適用
=(x-y)(ax+by){a(x-y)-b(2x+y)}
=(x-y)(ax+by)(ax-ay-2bx-by)

お礼

ベストアンサーに選ばせて頂きます。

本当に、ありがとうございました。

補足

丁寧なご解説、ありがとうございます。
(a^2)x(x-y)^2-ab(x-y)(2x^2+y^2)-(b^2)y(2x+y)(x-y)
についてなのですが、
どうして　そうまとめることが出来るのかわかりません…。
公式を活用していらっしゃるのでしょうか…。

高校一年が今の時期でも解ける問題だそうです。

申し訳ございませんが、返答を頂けると嬉しいです。

回答No.3

info22_

#2です。

A#2の補足の質問
>a,bについて式を整理すると
>a(a-2b)x^3-2(a^2-ab+b^2)x^2y+(a^2-ab+b^2)xy^2+b(a+b)y^3

a^2の項、abの項、b^2の項をまとめるようにしながら上の式を展開すると

=(a^2)x(x^2-2xy+y^2)-ab{2x^3+xy^2-2(x^2)y-y^3}-(b^2)y(2x^2-xy-y^2)

a^2の項の係数：x(x^2-2xy+y^2)
abの項の係数：｛2x^3+xy^2-2(x^2)y-y^3}
b^2の項の係数：y(2x^2-xy-y^2)
それぞれをたすき掛け法で因数分解してやります。
かつ共通因数があればそれを確認（a^2の項の因数が他項の因数になっていることの確認を行ってみる)して括りだす。
x(x^2-2xy+y^2)=x(x-y)^2
-{2x^3+xy^2-2(x^2)y-y^3}=-(x-y)(2x^2+y^2)
-y(2x^2-xy-y^2)=-y(x-y)(2x+y)
全体として共通因数(x-y)が確認できる。

これから次の式が出てきます。
>=(a^2)x(x-y)^2-ab(x-y)(2x^2+y^2)-(b^2)y(2x+y)(x-y)

>=(x-y)(ax+by){a(x-y)-b(2x+y)}
>=(x-y)(ax+by)(ax-ay-2bx-by)

お礼

細かいところまで、ありがとうございました!!!!

やっと理解できて嬉しいです！

回答No.1

nag0720

因数分解のコツは、なるべく次数のすくない変数でまとめることです。

問題の式を見れば、x,yは３次、a,bは２次なので、
aでまとめれば、

a^2(x^3-2x^2y+xy^2)-a(2bx^3-2bx^2y+bxy^2-by^3)-(2b^2x^2y-b^2xy^2-b^2y^3)

あとは、それぞれの項の係数を因数分解して共通項を抜き出し、
そのあとは、たすきがけの方法で因数分解できます。

お礼

ありがとうございます!!
とてもわかりやすく、助かりました!!
因数分解ができると、とてもスッキリしますね！
色々な解き方もありますし、楽しいです。

私の為にお時間を使って下さり、本当にありがとうございました。

補足

再度質問をして申し訳ございません。
-a(2bx^3-2bx^2y+bxy^2-by^3)=
-ab(x^3-2x^2y+xy^2-y^3)は
どのようにたすきがけをしたら良いでしょうか。