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彗星がもっとも近くに来る時のｒの求め方
彗星がもっとも近くに来る時のｒの求め方 太陽に彗星が速度ｖで近づいてきます 最初のｖの延長線上に太陽から垂線を下ろして垂線の長さをｂ、太陽の質量をM、彗星の質量をｍ、万有引力定数をG、彗星がもっとも近づいてきたときの彗星と太陽の距離をｒ0としてｒ0をM、ｍ、G、b、vを用いて表せという問題なのですが もっとも彗星が太陽に近づいた時の速さや離心率もわからないのにとけるのでしょうか？ どなたかよければ回答よろしくお願いします
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こんにちは！ これは、力学的エネルギーの保存と円運動の向心力から求めることができます。 １． まず、彗星がやってくるときの状況ですが、元の速さがｖということは、速度ｖの等速直線運動に近似できます。 ・運動エネルギーは １／２・ｍｖ^2 ・垂線との交点にあるときの位置エネルギーは －ＧＭｍ／ｂ 合計のエネルギーは １／２・ｍｖ^2 － ＧＭｍ／ｂ です。 ２． 次に、近日点における状況ですが、これは等速円運動と考えます。その速さをＶ、角速度をωと置くと、 Ｖx＝－ｒ0ωsinωｔ、Ｖy＝ｒ0ωsinωｔ Ｖ ＝ √（Ｖx^2＋Ｖy^2） ＝ ｒ0ω ＝ √（ｒ0ω^2）・√ｒ0 ・・・Ａ ＝ √（ＧＭ／ｒ0^2）・√ｒ0 ・・・Ｂ ＝ √（ＧＭ／ｒ0） ※ＡからＢのところがポイントです。向心力は、ｒω^2 に等しいです。（ＶxとＶyをｔで微分すればわかります） ・運動エネルギーは、１／２・ｍＶ^2 ＝ １／２・ＧＭｍ／ｒ0 ・位置エネルギーは、－ＧＭｍ／ｒ0 合計のエネルギーは １／２・ＧＭｍ／ｒ0 － ＧＭｍ／ｒ0 ＝ －１／２・ＧＭｍ／ｒ0 です。 ３． 力学的エネルギー保存により 速さｖのときのエネルギー ＝ 近日点でのエネルギー １／２・ｍｖ^2 － ＧＭｍ／ｂ ＝ －１／２・ＧＭｍ／ｒ0 ｖ^2 － ２ＧＭ／ｂ ＝ －ＧＭ／ｒ0 ・・・ 以上でわかるとおり、ｍは約分で消えます。 もしもｍが必要だとすると、彗星が融けて２つに割れると、突如速さが変わることになりますから変です。（ピサの斜塔の実験と同じことです） 私、計算ミスが多いので、鵜呑みにしないで検算してください。
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このままでは解は決まらないと思います。例えば >最初のｖ の時にちょうど近日点にある（r0 = b）というのも解のひとつになってしまいます。 彗星の力学的エネルギー（あるいは、同じことですが、速度が v の時の太陽からの距離）を与える必要があります。そうすれば、エネルギーの保存と角運動量の保存から、解を定めることが可能です。m << M なので、太陽の位置は固定としてよいと思います（たぶん）。 彗星にはいろいろな種類のものがあります。巨大惑星と同じくらいの距離の所からやってくるものもあれば、それらのはるか彼方からやってくるものもあります。ですから、力学的エネルギーを勝手に仮定することはできません。 はるか彼方からやってくる彗星の場合には、遠方で運動エネルギーも位置エネルギーも零に近くなっていますから、近似的にそれらの和を零とみなすことができます。この可能性が高いように思いますが、確かなことは出題者にしかわかりません。
お礼
ご回答ありがとうございます そうなんですよね・・・少し条件があいまいでわかりにくいのですがもっと単純にかんがえてみたほうがいいのでしょうか
お礼
ご回答ありがとうございます なるほど、彗星の運動方程式だとか求めなくても保存の法則から求められたのですね 円運動と考えるというのは思いつかない発想でした 参考にさせてもらいます