彗星がもっとも近くに来る時のｒの求め方

質問

彗星がもっとも近くに来る時のｒの求め方

太陽に彗星が速度ｖで近づいてきます
最初のｖの延長線上に太陽から垂線を下ろして垂線の長さをｂ、太陽の質量をM、彗星の質量をｍ、万有引力定数をG、彗星がもっとも近づいてきたときの彗星と太陽の距離をｒ0としてｒ0をM、ｍ、G、b、vを用いて表せという問題なのですが
もっとも彗星が太陽に近づいた時の速さや離心率もわからないのにとけるのでしょうか？
どなたかよければ回答よろしくお願いします

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんにちは！

これは、力学的エネルギーの保存と円運動の向心力から求めることができます。

１．
まず、彗星がやってくるときの状況ですが、元の速さがｖということは、速度ｖの等速直線運動に近似できます。
・運動エネルギーは　１／２・ｍｖ^2
・垂線との交点にあるときの位置エネルギーは　－ＧＭｍ／ｂ
合計のエネルギーは　１／２・ｍｖ^2　－　ＧＭｍ／ｂ　です。

２．
次に、近日点における状況ですが、これは等速円運動と考えます。その速さをＶ、角速度をωと置くと、
Ｖx＝－ｒ0ωsinωｔ、Ｖy＝ｒ0ωsinωｔ
Ｖ　＝　√（Ｖx^2＋Ｖy^2）　＝　ｒ0ω
　＝　√（ｒ0ω^2）・√ｒ0　　　・・・Ａ
　＝　√（ＧＭ／ｒ0^2）・√ｒ0　　　・・・Ｂ
　＝　√（ＧＭ／ｒ0）
※ＡからＢのところがポイントです。向心力は、ｒω^2　に等しいです。（ＶxとＶyをｔで微分すればわかります）
・運動エネルギーは、１／２・ｍＶ^2　＝　１／２・ＧＭｍ／ｒ0
・位置エネルギーは、－ＧＭｍ／ｒ0
合計のエネルギーは　１／２・ＧＭｍ／ｒ0　－　ＧＭｍ／ｒ0　＝　－１／２・ＧＭｍ／ｒ0　です。

３．
力学的エネルギー保存により
速さｖのときのエネルギー　＝　近日点でのエネルギー
１／２・ｍｖ^2　－　ＧＭｍ／ｂ　＝　－１／２・ＧＭｍ／ｒ0
ｖ^2　－　２ＧＭ／ｂ　＝　－ＧＭ／ｒ0
・・・

以上でわかるとおり、ｍは約分で消えます。
もしもｍが必要だとすると、彗星が融けて２つに割れると、突如速さが変わることになりますから変です。（ピサの斜塔の実験と同じことです）

私、計算ミスが多いので、鵜呑みにしないで検算してください。

お礼

まちがえて二回投稿してしまったのですが両方に回答ありがとうございます