異なる分母で分子が一の数の和が二になることはありますか？

質問

異なる分母で分子が一の数の和が二になることはありますか？

ちなみに、異なる分母で分子が一の数の和が一になることはあります。

例えば、

二分の一足す三分の一足す六分の一は一になります。
また、二分の一足す四分の一足す六分の一足す十二分の一も一になります。
また、二分の一足す四分の一足す八分の一足す十二分の一足す二十四分の一も一になります。

また、二分の一足す四分の一足す八分の一足す十六分の一足す…
を無限に繰り返すと一になります。

回答No.5

178-tall · ベストアンサー

(実際に作るのはシンドイ…ので) 予想だけ。

自然数 M の場合は、1/M からスタートすればよさそうです。

お礼

予想を作っていただきありがとうございます。

回答No.4

178-tall

>合計が３になるのは、ちょっと難しいかな。

失礼。前稿は 2 どまりでしたね。

同じ分母が出てきたら、その項の「エジプト分数」を試作しなおさねばなりません。
行き止まりの有無は、未検討。

回答No.3

178-tall

>合計が３になるのは、ちょっと難しいかな。

　1/m = 1/(m+1) + 1/{m(m+1)} を利用しているので、1/2 ごとの加算項数は倍々で増えていきますが、分母は更新されていくと思いますよ。

　　　　　 1/2
　　　　　／　　＼
　　　1/3　　 + 　　1/6　(= 1/2)
　　／　＼　　　　　／　＼
　1/4　 + 1/12 + 1/7 + 1/42　(= 1/2)
　／＼　　……
1/5 + 1/20 + 1/13 + 1/156 + 1/8 + 1/56 + 1/43 + 1/1806　(= 1/2)

回答No.2

Mr_Holland

無限級数を使う例です。

　1/2+1/4+1/6+1/12=1　を利用します。

　1/2=Σ[n=1→∞] (1/3)^n
　1/4=Σ[n=1→∞] (1/5)^n
　1/6=Σ[n=1→∞] (1/7)^n
　1/12=Σ[n=1→∞] (1/13)^n

∴1/2+1/4+1/6+1/12+ Σ[n=1→∞]{(1/3)^n+(1/5)^n+(1/7)^n+(1/13)^n}=2

お礼

お見事！！！

無限級数の和を上手に使っていますね。

回答No.1

178-tall

1/m = 1/(m+1) + 1/{m(m+1)} を利用する簡単な一例。

1/2

1/3 + 1/6　(= 1/2)

1/4 + 1/12 + 1/7 + 1/42　(= 1/2)

1/5 + 1/20 + 1/13 + 1/156 + 1/8 + 1/56 + 1/43 + 1/1806　(= 1/2)

ここまでの合計は 2 。

お礼

お見事！！！

でも、合計が３になるのは、ちょっと難しいかな。
すでに、分母６分母７分母８が登場しているから。

それにしても、見事！！！