数学です。

質問

数学です。
1 点（－2・2）をとおり、中心が直線y＝－x＋2上にあり、x軸に接する円の方程式を求めよ。

2 3点A（0・0）、B（1・－2）、C（2・1）がある。三角形ABCの外心の座標と外接円の半径を求めよ。

という問題があります。
どちらも解き方の見当が付きません。
教科書やワークも見ましたがこのような問題は載っていせんでした。（勿論自分で解こうとしましたし、考えました）

どなたか途中式と詳しい解説を教えてください。よろしくお願いします。
※ヒントはワークなどから大体の推測はつくので詳しい途中式を教えてください。
（これでわからないとは情けないのですが）

※宿題ではありません

回答No.1

ferien · ベストアンサー

＞1 点（－2・2）をとおり、中心が直線y＝－x＋2上にあり、x軸に接する円の方程式を求めよ。
円はｘ軸に接するので、中心のｙ座標と半径の値は一致する。
中心（ａ，ｒ），半径ｒとすると、
（ｘ－ａ）^2＋（ｙ－ｒ）^2＝ｒ^2
（－２，２）を通るから、
（－２－ａ）^2＋（２－ｒ）^2＝ｒ^2
中心がｙ＝－ｘ＋２上にあるので、
ｒ＝－ａ＋２　これを上の式に代入して、
（－２－ａ）^2＋ａ^2＝（－ａ＋２）^2
ａ^2＋８ａ＝０　ａ（ａ＋８）＝０より、ａ＝０，－８
ａ＝０のとき、ｒ＝２，ａ＝－８のとき、ｒ＝１０
よって、ｘ^2＋（ｙ－２）^2＝２^2
（ｘ＋８）^2＋（ｙ－１０）^2＝１０^2

＞2 3点A（0・0）、B（1・－2）、C（2・1）がある。三角形ABCの外心の座標と外接円の半径を求めよ
外心Ｏ（ｐ，ｑ）とおくと、ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣが成り立ち、その長さが外接円の半径であるから、
｜ＯＡ｜^2＝ｐ^2＋ｑ^2
｜ＯＢ｜^2＝（ｐ－１）^2＋（ｑ＋２）^2
｜ＯＣ｜^2＝（ｐ－２）^2＋（ｑ－１）^2
（ｐ－１）^2＋（ｑ＋２）^2＝ｐ^2＋ｑ^2より、
－２ｐ＋４ｑ＋５＝０
（ｐ－２）^2＋（ｑ－１）^2＝ｐ^2＋ｑ^2より、
－４ｐ－２ｑ＋５＝０
連立で解くと、ｐ＝３／２，ｑ＝－１／２
よって、外心（３／２，－１／２）
外接円の半径＝｜ＯＡ｜＝√｛（3/2）^2＋（-1/2）^2｝＝√１０／２

でどうでしょうか？図を描いて考えて下さい。

お礼

図を書いて回答を読んでいるととてもわかりやすかったです‼
とても詳しい解説をしていただき本当にありがとうございました。
おかげさまで理解できました。

回答No.2

asuncion

＞教科書やワークも見ましたがこのような問題は載っていせんでした。

まあ、たいていの問題は初出でしょうからねぇ。
解き方の引き出しをいくつ持っているかが肝心だと思います。

設問1
中心座標(a,b),半径rの円の方程式は、
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
(-2,2)を通るので、
(-2-a)^2+(2-b)^2=r^2
中心(a,b)が直線y=-x+2上にあるので、
b=-a+2より、a=2-b
x軸に接するので、中心のy座標が半径に等しい。
b=r
(b-4)^2+(2-b)^2=b^2
b^2-12b+20=0
(b-2)(b-10)=0
b=2, 10
a=0, -8
r=2, 10
よって、求める円の方程式は
x^2+(y-2)^2=4
(x+8)^2+(y-10)^2=100
とりあえずここまで。

お礼

とてもわかりやすい解説ありがとうございました。