積の寄与度の求め方を教えてください！！

質問

積の寄与度、といういいかたでいいのかわかりませんが、教えてください。
具体的には以下です。

売上＝単価×数量
の時、
　　　2007　2008　2009　2010
単価　100　 120 150 110　（円）
数量　50　　80　　70　　90　　（個）
売上　5000　9600　10500 9900　（円）

だとすると、売上の前年比変化率に対する単価と数量の寄与度はどうやって計算したらよいでしょうか。
確かlogを使うところまでは覚えているのですが・・・・。
初歩的な質問で大変申し訳ございませんが、どうぞお願いいたします。

回答No.1

noname#185706 · ベストアンサー

z = x y　　(1)
で両辺の対数をとると
log z = log x + log y　　(2)
これで「対数の変化に対してなら」普通の寄与度の定義が使えます。

あるいは、(1)式を変化後の状態に適用すると
z + Δz = (x + Δx)(y + Δy)　
これから(1)式を辺々引くと
Δz = y Δx + x Δy + Δx Δy
この両辺を(1)で辺々除すと
Δz/z = Δx/x + Δy/y + (Δx Δy)/(x y)　　(3)
右辺で Δx/x は x の変化率です。普通の寄与度 Δx/z ではありませんが、積の場合には、変化率そのものが普通の寄与度に似た役割を果たすことがわかります。ただし、右辺第3項は普通の寄与度の式には現れないものです。

変化量が微小である場合には、(3)式右辺第3項は2次の微小量として無視できて、
Δz/z = Δx/x + Δy/y　　(4)
が得られます。この式は(2)式を全微分しても得られます。

なお、質問文の例では変化量は微小ではないので、(4)式は適用できません。

素人で、積の場合の寄与度の定義を知りませんので、上のような回答になりました。見当違いな内容になっているかもしれませんが、悪しからず。

お礼

質問者です。
（２）式が当初知りたかった式でした。
ちょっと考えれば分かろうものなのにすみません。
（３）いかも大変勉強になりました。
ありがとうございました。