受験算数の問題 数と規則性

質問

問題「１～５０までの積は６で何回割り切れますか？」を
教えてください。
お願いします。

回答No.2

麻野 なぎ（@AsanoNagi） · ベストアンサー

プログラムを作って、しらみつぶしで調べてみると、22回になりました。で……。

６で割るためには、６ = ２×３と素因数分解できるので、６で割れる回数は、１～50の積に含まれる因数２の数と、因数３の数のうち、少ない方になります。

３を因数として含むの
50 / 3 = 16個

９を因数として含むの
50 / 9 = 5個

27を因数として含むの
50 / 27 = 1個

含まれる（因数としての）３は、16 + 5 + 1 = 22個

２を因数として含むの
50 / 2 = 25個

なので、６で割るための ３×２のペアは、22組存在する。
故に、22回割れる

ということになります。
なぜ、3, 9, 27 の数を数えているのか、なぜ、それを単純に足すと、「３の数」になるのか、このあたりは考えてみるといいと思います。

回答No.1

pasocom

「１～５０までの積」とは「１ｘ２ｘ３ｘ４ｘ・・・ｘ５０」のことでしょうか。
あまり自信ないですが、次のように考えてはいかがでしょうか。
「６で何回割れるか」とは、この積を因数分解していくつ「ｘ６」ができるか、ということになります。
まず、１～５０の整数の中にの数字で、数字自体の中に「ｘ６」が入っている、つまり「６の倍数」の数を数えれば、少なくともその数（回数）だけは６で割れる。（ただし36は一つで２回割れる）。
また「６の倍数ではない３の倍数」を数えれば、これは２などの偶数と掛け合わせることで６の倍数になるので、この数（回数）も同じく６で割れる回数にカウントできる。
そこで、
■１～５０の整数の中にある「６の倍数」の数＝6、12，18，24，30，36，42，48の８個だから36が２回分として９回割れる。
■「６の倍数ではない３の倍数」＝3、9，15，21，27，33，39，45　の８個。
よって、合計して「ｘ６」が１６個できる。つまり６で１６回割ることができる。
でいかがでしょうか。

補足

１ｘ２ｘ３ｘ４ｘ・・・ｘ５０です。