留数って？

質問

はじめまして！！
これから振動解析を勉強しようと思っている者です。
突然ですが、留数定理というものはなんでしょうか？
どういった時ににどうゆふうに使うものかお教え下さい。

回答No.3

noname#1499 · ベストアンサー

inukoroです。応用数学的な答えでいいですかね？（厳密さは省いてあります）

○留数定理○
複素数の空間で適当な閉曲線Ｃがあって、そのＣの周りを一周するとき積分値が、
２πiΣRes（a）となる。このとき、Z=ａは閉曲線Ｃで囲まれた領域内で特異点となり、Ｒｅｓ（a)とはその特異点での留数である。
ただし、留数は１/（z-a）の係数を指す。

従って、上の定理は難しい複素積分もその中の特異点を考えて1/(z-a)の係数の和を取れって2πiだけ掛ければ答えは簡単にもとまってしまうという事を言っています。任意の閉曲線Ｃなので、問題よって閉曲線のとり方を自分で設定することができます。円、単位円、上半円などが多いです。もちろん複素平面上ですが。
留数自体の求め方は他にいろいろあるので、複素関数の教科書や応用数学の教科書の方を見て下さい。

参考までに：「複素関数論」共立出版株式会社、有馬朗人・神部勉　著
　　　　　　「応用数学講義」培風館、堀口剛・海老澤丕道・福井芳彦　著

お礼

とってもわかりやすく説明していただき、ありがとうございました。
今回はじめて質問をさせていただいて、明確でわかりやすい回答が
こんなに早く得られるとは思いませんでした。
とても助かりました。ありがとうございました。

回答No.2

motsuan

固有振動数を求めようとすると留数が出て来ます。
グリーン関数というのがあると思いますが、
大雑把にいうと留数が０でないとき
それに発散する点があり固有振動数があることになります。

回答No.1

noname#30871

「複素平面上の関数f(z)を任意の閉曲線に沿って積分したとき、その留数をRとすると

　　∫f(z)dz = 2πiR

がなりたつ。」（∫はここでは周回積分）

……と書いてても自分でも理解が怪しいのはご勘弁いただきたいのですが、この定理は複素関数の定積分を求めるときに使います。振動解析では複素積分は出てきますか？

留数定理の話も含めた複素関数の話については、次の本をおすすめします。

小野寺嘉孝『なっとくする複素関数』講談社, ￥2300, ISBN4-06-154526-4

他にも『なっとくする解析力学』『なっとくする物理数学』なども出ています。

参考URL：

http://www.bookclub.kodansha.co.jp/Scripts/bookclub/intro/intro.idc?id=22872

お礼

amajunさん、早急な回答ありがとうございます。
数学的なことはほとんどわからずに振動解析をやらなければ
いけない状況になってしまい、素人の私にはちんぷんかんぷんで…
（もちろん複素積分も出てきます。）
さっそく本を探して一から勉強してみます。