つまづきました！（緊急）

質問

以下の問題の、とくに(3)でつまずきました。
(2)もすごく汚い数字になってしまって、自信がありません。
ｔ＝－1＋√257/8となりました。
(3)は、正でなければならないところが、負になったりで、
止まってしまいました。
ご指導、よろしくお願いいたします。

座標平面上において、点Ａ(0,4)と点Ｐ（ｔ,ｔ＾2)(0＜ｔ＜2)を結ぶ
線分の垂直二等分線lが放物線C：ｙ＝ｘ＾2と交わる点をＱ,Ｒとする。
(1) 直線ｌの方程式を求めよ。
(2)四角形ＡＱＰＲがひし形になる時のｔの値を求めよ。
(3)(2)のとき、2つの直線ＱＲ，ＰＲとＣで囲まれる
　　　２つの部分の面積の和を求めよ。

回答No.2

debut · ベストアンサー

(1)
傾き　-t/(t^2-4)、点(t/2,(t^2+4)/2)を通るから
y={-t/(t^2-4)}x+(t^4+t^2-16)/{2(t^2-4)}

(2)
Ｃ と l の交点のｘ座標を、α、βとすると、四角形ＡＱＰＲが
ひし形であることから、(α＋β)/2＝t/2　が成り立つ。
解と係数の関係から、α＋β＝-t/(t^2-4)
よって、-t/(t^2-4)=tを解いて、t=0,-√3,√3
0<t<2 から、ｔ＝√３

(3)
直線の式は　ｙ＝√３ｘ＋２
x^2-√3x-2=0を解くと、x=(√3±√11)/2
すると、計算して・・ＱＲの長さは２√11、ＡＰの長さは２なので
△ＰＱＲの面積は(2√11)*2*(1/2)*(1/2)=√11
ＰＱ(またはＰＲ)とＣで囲まれる面積は
Ｐ,Ｑ(またはＲ)からｘ軸に下ろした垂線とＰＱ(またはＰＲ)で
できる台形の面積(5√11-√3)/4から、積分範囲√３～(√3+√11)/2
で∫x^2dxをした答え(3√3+5√11)/6を引いて(5√11-9√3)/12
以上から求める面積は(17√11-9√3)/12

と、ここで問題を見直すと「２つの部分の面積の和」となっている
けど、ひょっとして、「ＱＰ，ＰＲとＣ で囲まれる」でしたか？
それなら、(5√11)/6　となりました。（計算ミスがなければ・・）

お礼

丁寧な解答、ありがとうございました。
囲まれた…でしたので、下の解答でＯＫでした。
またお世話になることもあるかもしれません。
そのときは、どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.1

noname#250262

(2)は、直線ｌとy = x^2の交点が x = a、bとおいて、2式からyを消去し、

xの2次方程式から、解と係数の関係を利用すると、a + b = - (t^2 - 4 / t)

また、ひし形の特徴から、それぞれの対角線の交点が、一致するので、(a + b) / 2 = (0 + t) / 2

以上２式から、t = √2

お礼

ありがとうございました。
ひし形の証明部分で、参考になりました。

補足

早速のお返事ありがとうございます。

ところで、直線ｌの傾きはｔ/（4ーｔ＾2）
ではないのでしょうか？
そこから解と係数を使うと、あんな変な答えになってしまったのですが。
でも、教えていただいたとおり、ＱＲとＡＰの中点が同じと考えると、
ｔの値はすっきりしたものになりますね。