ガス定数Rと比熱比κについて

質問

ガス定数Rと比熱比κについて

ガス定数Rは温度によって変化するのでしょうか？

Cp-Cv=R

Cp/Cv=κ

一方，比熱比κは温度が変化しても空気なら1.4で一定値を取るのでしょうか？

どなたかご教授お願いします．

回答No.2

jamf0421 · ベストアンサー

>理想気体と仮定すれば，ガス定数，比熱比ともに温度に依存せず一定と
>してもよいということでよろしいでしょうか？

ガス定数はPV=RTで決まりますが数として定まるので、van der Waals状態方程式のような理想気体でないものにも適用されます。

さて前の回答にミスがありました。「ただし比熱が温度に依存するならば内部エネルギーが温度に依らない、という理想気体の要件からは外れます。」と書いてしまったのですが(∂U/∂T)_v=Cvの意味を一瞬勘違いしてしまいました。Cvは温度に依存してもよいのです。前回の回答で理想気体云々の記述は無視して下さい。お詫びして訂正します。

理想気体を、”内部エネルギーが温度のみに依存し、Boyleの法則(PV=f(T))に従うもの”、と定義するならば、PV=RTが成立することは証明できます。
そうするとCp-Cv=TVα^2/κとPV=RT（理想気体の状態方程式）を組み合わせれば、Cp-Cv=Rは成立します。両辺をCvで割ってγ-1=R/Cvです。ところが理想気体の定義で、Cvが温度に依存しないとまでは言っておりません。実際2原子分子でも低温でも振動の寄与が少しは入ってきます。よってγは理想気体でも厳密には定数でなくてもよいことになります。

お礼

補足の回答ありがとうございます！

参考にさせていただきます！！

回答No.1

jamf0421

Rは1 molの理想気体でPV/T=Rで決まるもので本当に定数です。

Cp-Cv=Rは理想気体で成立します。一般的には
Cp-Cv=TVα^2/κ
ここでのκは圧縮係数(-(1/V)(∂V/∂P))、αは熱膨張係数(1/V)(∂V/∂T)）
となります。理想気体ならPV=RTですからCp-Cv=Rは容易に示せます。
Cp/Cv=γ(普通はγと書くことが多いのでこうかきます。）が空気で1.4とは、主たる構成成分が2原子分子で、並進自由度が3と回転の自由度が2の時にCv=(5/2)R, Cp=Cv+R=(7/2)Rとなることによります。これよりCp/Cvが1.4となっているのです。非常に高温になれば比熱に振動部分も効いてきますので（2原子分子なので振動モードは一つしかありません。）Cv=(5/2)R+R=(7/2)Rに近づいていきます。ただし比熱が温度に依存するならば内部エネルギーが温度に依らない、という理想気体の要件からは外れます。この時Cp=Cv+TVα^2/κですが、状態方程式が依然として理想気体に近いならCp=Cv+R=(9/2)Rに近づいて行くでしょう。
つまり空気が理想気体的と看做せる範囲ではγ=1.4ですが、比熱への振動の寄与が問題になる程度になるとγ=1.4からはずれます。
因みに酸素だと281 Kならば振動の寄与は0.022R程度ですが、563 Kならば振動の寄与は0.303Rとなります。2250 Kで0.928RでほぼR分の寄与となります。窒素だと419 Kで0.022R、838 Kで0.303R、3350 Kで0.928Rの寄与となります。

補足

ご回答ありがとうございます！！大変参考になりました．

つまりは，理想気体と仮定すれば，ガス定数，比熱比ともに温度に依存せず一定としてもよいということでよろしいでしょうか？