場合の数

質問

辺の長さが10、24、nの三角形がある(nは正の整数)。この三角形の3つの角が全て鋭角となるようなnは何通り存在するか？

解き方が分かりません。
nは14以上、34以下で場合分けして考えるのでしょうか。
また、鋭角三角形をどのように数えたらいいのか分かりません。

自分の考えを少し書かせてもらいましたが、解決の糸口が全くつかめていない状況です。宜しくお願いします。

回答No.4

don9don9 · ベストアンサー

三角形の辺の長さを長い順にa,b,cとすると
鋭角三角形の場合は a^2 < b^2 + c^2
直角三角形の場合は a^2 = b^2 + c^2
鈍角三角形の場合は a^2 > b^2 + c^2
となります。

辺の長さ10の辺は最長の辺になりませんので
24が最長の場合と、nが最長の場合をそれぞれ考えると

24が最長の場合
24^2 < 10^2 + n^2
n^2 > 24^2 - 10^2
n^2 > 576 - 100
n^2 > 476
ここで21^2 = 441、22^2 = 484、nは正の整数なので
n^2 > 476 を満たす最小のnは22ということになります。
n >= 22

nが最長の場合
n^2 < 24^2 + 10^2
n^2 < 576 + 100
n^2 < 676
nは正の整数なので
n < 26

よって、nは22,23,24,25の4通りです。

お礼

計算し直したところ、4通りになりました！
ありがとうございました。

回答No.3

yamato300

こんにちは
普通、この問題は場合の数を使わないで余弦定理を使って解きそうな気がします.

三角形ABCの三辺の長さがa,b,cであるとき
(辺a,b,cの対角をそれぞれA,B,Cとして)余弦定理により
a^2=b^2+c^2-2bc cosA
b^2=c^2+a^2-2ac cosB
c^2=a^2+b^2-2ab cosC
が成り立ちます.　
ＡＢＣが鋭角三角形なのでcosA,cosB,cosCは正の値となり
a^2＜b^2+c^2
b^2＜c^2+a^2
c^2＜a^2+b^2
が成り立ちます. aに10,bに14,cにnを代入するとnについての不等式が得られるのでそれを満たすnを求めればよいですよ.

お礼

そういう解法もあるんですね！
第二式からn>4√6(約9,7)
第三式から0<n<√296(約17,20)
この共通範囲は4√6<n<√296
よって８個ですか？

補足

ごめんなさい、１４で計算してしまいました。２４ですよね。

回答No.2

Tacosan

「鋭角三角形」はすべての角が鋭角であるような三角形ですが, これは「最大角が鋭角であるような三角形」と言い換えることができます.
そして, 三角形において最大角の対辺は最長となります.
このことから, 「長さ 24 の辺が最長となる場合」と「長さ n の辺が最長となる場合」の 2つに場合わけし (n=24 はどちらに入れてもよい), それぞれの場合で直角三角形になるときの n の値を求めればよいということが分かります.

お礼

Tacosanさんの方針でもう一度考えてみようと思います。
ありがとうございます。

回答No.1

Turbo415

全部が鋭角ですから、１０と２４でできる直線の間の角は90度にならないということです。この角が90度だと鋭角でなくなります。ということは90度未満。90度だとすると三平方の定理により１０と２４と２６です。
でｎが正の整数だから、１から２５までの整数ということになります。
こんな感じでしょうか。

お礼

25通りということですか？例えばn=1のとき三角形は作れないような気もするのですが。