等面四面体 （京都大）

質問

△ＡＢＣは鋭角三角形とする。このとき、各面すべてが△ＡＢＣと合同な四面体が存在することを示せ。　（京都大）

〈解）
ＢＣ＝ａ　ＣＡ＝ｂ　ＡＢ＝ｃとする。
△ＡＢＣは鋭角三角形であるから、次の不等式が成り立つ。
ａ^2＋ｂ^2＞ｃ^2、ｂ^2＋ｃ^2＞ａ^2、ｃ^2＋ａ^2＞ｂ^2

したがって３つの等式
ｘ^2＝1/2（ｃ^2＋ａ^2－ｂ^2）　
ｙ^2＝1/2（ａ^2＋ｂ^2－ｃ^2）
ｚ^2＝1/2（ｂ^2＋ｃ^2－ａ^2）　

の右辺はいずれも正であり、これらを満たす正の数ｘ、ｙ、ｚが存在する。
ここで、垂直に交わる３辺の長さがｘ、ｙ、ｚである直方体を作ると

ｘ^2＋ｙ^2＝ａ^2、ｙ^2＋ｚ^2＝ｂ^2、ｚ^2＋ｘ^2＝ｃ^2

が成り立ち、直方体の４つの頂点を共有する四面体は、４面とも△ＡＢＣと合同である。
したがって、各面すべてが与えられた鋭角三角形と合同な四面体は存在する。

これは参考書に載っていた京都大の入試問題です。
全く分からなかったので解答を見たものの、全く分かりません。
理解できるのは解答の一行目くらい・・　

詳しい解説をお願いします。

回答No.1

gohtraw

直方体の頂点をＤ～Ｋとします（面ＤＥＦＧと面ＨＩＪＫが平行）。また、辺ＤＥ、ＥＦ、ＤＨの長さをそれぞれｘ、ｙ、ｚとします。すると対角線ＨＥ、ＥＪ、ＪＨの長さはそれぞれｃ、ｂ、ａとなります（ｘ^2＋ｙ^2＝ａ^2、ｙ^2＋ｚ^2＝ｂ^2、ｚ^2＋ｘ^2＝ｃ^2より）。
　Ｅ，Ｊ，Ｈ，Ｇを頂点とする四面体について各辺の長さを考えると、この四面体の辺は上記の直方体の面の対角線となり、上記同様にしてその長さがａ，ｂ，ｃであることが判り、全ての面が△ＡＢＣと合同となります。
　直方体の図を書いてご確認下さい。