f分布の関係式とｔ分布の関係式

質問

タイトルのとおりです。

自由度がｍ、ｎのF分布としてFm,nと書き、
Fm,n((0,a]) = Fn,m([1/a,∞))

そして自由度ｎのｔ分布をTnであらわして

Tn([-a,a]) = F1,n([0,a^2])

と書いてあったのですが、これはどのように導出すればよろしいのでしょうか？

よろしくお願いいたします。

回答No.1

noname#227064 · ベストアンサー

まず一つ目は、第1自由度がm、第2自由度がnのF分布に従う確率変数をFとすると、これが0＜F≦aとなる確率は、1/Fが1/a以上となる確率と同じで、1/Fは第1自由度がn、第2自由度がmのF分布に従うため、

> Fm,n((0,a]) = Fn,m([1/a,∞))

となります。

二つ目は、標準正規分布に従う確率変数をz、自由度nに従う確率変数をyとし、これらが独立であるとすると、z/√(y/n)がt分布に従いますが、これを二乗したz^2/(y/n)は第1自由度が1、第2自由度がnのF分布に従うため、

> Tn([-a,a]) = F1,n([0,a^2])

となります。
（勿論、確率密度関数の変数を変換して導出しても良いです。）

お礼

非常にわかりやすい説明ありがとうございました。
実は確率変数で答えを出したのですが、この様な説明が出来なかったため、
困っていたので本当に助かりました。