確率の証明

質問

確率Ｐ（Ａ）は、0≦Ｐ（Ａ）≦１を満たすについて。

たとえば、さいころを１回投げて、√３の目がでる事象をＡとおくと、Ａは決しておこらないから、
Ａ＝空事象
よって、n(A)=0

Ｐ（Ａ）=0となる。

同じ方法で、Ｐ（Ａ）＝１になる方法。
説明がわかる人はおしえてください

回答No.8

liar_adan

気になったことがあるので書きます。

「任意の事象Aについて、0≦Ｐ（Ａ）≦１を証明せよ」
という問題とのことですが、
その前段階として、「確率とは何か」「確率の定義」を
はっきりさせておかなければなりません。

証明問題の場合、根本の「定義」から始めるのが
数学のやりかたです。

まず確率の定義をはっきりさせなければなりませんが、
これが意外と難しいのです。
大学のとき使った確率の教科書を開くと、
(1)先験的確率
(2)経験的確率
(3)幾何学的確率
(4)標本空間とボレル集合体において定義される確率
などがあり、それぞれ定義が違います。

ただ、想像ですが、本式の確率論(数学専攻の人がやる)の話とは思えないので、
「先験的確率」の事を言っているのだと思います。
これは、「試行の結果として起きる事象が同様に確からしいとするとき
(つまり、サイコロを投げてみて、どの目も平等に出るとするようなとき)、
　(条件Aを満たす場合の数)÷(全部の場合の数)
を確率P(A)と定義する確率です。

P(A)が0以上なのは、分子の「条件Aを満たす場合の数」は場合の個数であり、
0以下にならない事で示されると思います。
1以下だということも、同様に言えるでしょう。

回答No.7

fushigichan

＃３fushigichanです。お礼ありがとうございます。

＞「偶数か奇数が出る」でもいいでしょう。
だと、偶数と奇数それそれ３個
「１～６までの目が出る」でもいいですね
だと、６個でてしまいます。
だからＰ（Ａ）＝１にはならないような？

まず、さいころを振る、ということを行うと、
１回さいころを振れば、出る目の数は、
１，２，３，４，５，６のどれかですよね？
つまり、１から６までの６とおりあります。
これが、さいころを１回振ったときの、全体の場合の数です。

さて、偶数が出る確率は、
「偶数が出る場合の数」÷「全体の場合の数」です。
偶数が出るのは、２か４か６が出たときですから、３通り。
したがって、偶数が出る確率は、３÷６＝１/２になります。

同様に、奇数は、１か３か５の３通りですから
３÷６＝１/２・・・奇数の目の出る確率。

「偶数、または奇数が出る」とすれば
１/２＋１/２＝１となります。

確率が１である、ということは、言い換えれば「絶対起こる」ということなのです。
さいころを振れば、絶対に、偶数か奇数の目が出ますよね？
また、さいころを振れば、絶対に、１か２か３か４か５か６の目が出るはずです。
√３とかの目は、絶対に出ませんよね？

今回の、さいころについては、振れば、必ず
１か２か３か４か５か６の目が出ることが分かっていますから、
その中で、「偶数」と条件をつけてやると、確率は半分の１/２になるわけです。

回答No.6

ymmasayan

No.1のymmasayanです。
確率の基本的な理解が違っているようですね。

＞＞「１～６までの目が出る」でもいいですね
＞だと、６個でてしまいます。

１００回さいころを投げたとします。どの回も１～６のどれかの目が出ます。
１００回投げて１００回目的の目が出たので
目的の目の出る確率＝１００／１００＝１
なのです。決して場合の数を数えてはいけません。

回答No.5

fuzzball

>>だからＰ（Ａ）＝１にはならないような？

『Ｐ（Ａ）＝１』の『１』は100%という意味です。
100%＝"必ずおこる"ということです。

回答No.4

fuzzball

さいころを１回投げて、√３の目が出ない事象をＡとおくと、
Ｐ（Ａ）＝１になります。

回答No.3

fushigichan

aya402さん、こんにちは。
正解が出ているんですが・・・

＞たとえば、さいころを１回投げて、√３の目がでる事象をＡとおくと、Ａは決しておこらないから、
Ｐ（Ａ）=0となる。
同じ方法で、Ｐ（Ａ）＝１になる方法。

極端な言い方をすれば、√３の目が出ない確率、でもいいですね。
これをＢという事象とすると、ＡとＢは背反です。
Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）＝１ですから、Ｐ（Ｂ）＝１

このほかにも、「１０以上の目が出ない確率」とかでもいいです。
もともとさいころには最大で６しか出ませんから合っています。
「偶数か奇数が出る」でもいいでしょう。
「１～６までの目が出る」でもいいですね。
ご参考になればうれしいです。

補足

単純なことかもしれませんが、
「偶数か奇数が出る」でもいいでしょう。
だと、偶数と奇数それそれ３個
「１～６までの目が出る」でもいいですね
だと、６個でてしまいます。
だからＰ（Ａ）＝１にはならないような？
すいません、知識がなくて

回答No.2

SUNAONAKO

大変乱暴ではありますが、単純な例といたしまして
　『さいころを1回投げ、
　　1,2,3,4,5,6のいずれかの目が出る』
という事象の仮定は、お望みの条件を満たすと
思われます。
もっとも、√3を例に出されるところをみまして、
書き込みをさせていただきました。

そもそも事前確率・事後確率をご存知ならば、
またルベーグ積分をご存知ならば、
また面白い議論が出来ると思い、書き込みをさせていただきました。

例えば、
　『定義域が連続値のみ』
で構成されていると仮定しましょう。
　∫_{定義域全域}p(x)dx=1
なる
　『連続』な確率密度関数
を考えます。
このとき、
　定義域内のある1つの値a
に対する
　p(a)
はおいくらと思われますか？
ルベーグ積分をご存知ならお分かりだと思いますが、
0と答えるのが良心的ですね。

さいころという特殊なdetectorを考える事は、
直感を働かせ易いと同時に、
ある意味厳密性に欠ける例であると考えられます。
もちろん、計算機を使った計算すら、
上の議論で行けば、
何をしているのかわからなくなるといった具合です。
しかし、決して日常生活から離れた議論でないことも
また然りですね。

ある解離した2点間を結ぶ線分を片方から指で辿りますと、
有限時間でもう片方へ到達します。
しかし、今辿った線分は無限点で構成されています。
さあ、この矛盾をどう説明付けるか？

ご質問から大きく逸脱したかに見えると思いますが、
これはひょっとして伸びる目の発見か！？
とも思いまして、
眠れなくなる余計なおせっかいをさせていただきました。

回答No.1

ymmasayan

さいころを１回投げていずれかの目が出る事象をＢとおくと
Ｐ（Ｂ）＝１

複数の事象をまとめて一つの事象として構いません。
たとえば２，４，６の目が出る　⇒　偶数の目が出る。