カイ二乗の自由度

質問

実験による測定値に対しカイ二乗を用いる際の自由度についての質問です。

xを指定した上で、yを測定するという作業を異なるxについてn回行い、n組の(x_n, y_n)を得ます。
このyは y = f(x, A, B, C)とモデル化された関数f()で書くことができ（x, A, B, Cは全て独立）、A, B, Cは未知のパラメーターです。
最終的にこのA, B, Cを推定することを目標としますが、ここで、nがあまり多く得られないので、
最小二乗などのあてはめにより最適なA, B, Cを求めることは諦め、適当な棄却値（％）を決めた上で、
カイ二乗によりA, B, Cが取り得る値の範囲を探すことを考えます。
実際にやることは、考えられる有限(i, j, k個)のA_i, B_j, C_k全ての組み合わせに対しカイ二乗を計算し、
その自由度での棄却値に対応するカイ二乗値より小さいカイ二乗値を示す点（A_i, B_j, C_k）を探します。

ここで質問ですが、求めるパラメータの数は３なのですが、この場合の自由度もn-3として良いのでしょうか？
それとも、各点の計算ではA, B, Cを既知のものとして与えてしまうわけですので、
パラメータ数３を引かずに自由度nとするべきでしょうか？

よろしくお願い致します。

回答No.1

ur2c · ベストアンサー

> 最小二乗などのあてはめにより最適なA, B, Cを求めることは諦め、適当な棄却値（％）を決めた上で、
> カイ二乗によりA, B, Cが取り得る値の範囲を探すことを考えます。

結局は A, B, C を推定しているわけですから、自由度は n-3 です。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%82%A4%E4%BA%8C%E4%B9%97%E6%A4%9C%E5%AE%9A
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%94%B1%E5%BA%A6

ところで、ご提案の方法は最小２乗の代わりに最小カイ２乗をとっているだけで、両者は方法として、ほとんど同じです。もしも最小２乗が適用できるようなモデルになっているのでしたら、ご提案の方法と同じ様に「A, B, C が取りうる値の範囲」が示せます。なぜ最小２乗がだめなのに最小カイ２乗なら良いのか、またなぜもっと普通な方法である最尤法ではいけないのか、理由付けが問題になると思います。

初めから最尤法をとってしまえば、発表のときに予想される余計な疑問や質問が省けるのに、という感想を持ちました。

お礼

回答ありがとうございます。
異なる人に、「自由度はn-3」「自由度はn」と言われたので、色々と混乱してしまって、質問させて頂きました。
どんな形であれ、得られたデータ（x, y）を元にパラメータ（A, B, C）を推定するのであれば、
そのパラメータの数だけ自由度は減らさなければならないのですね。

また、一つ書き忘れていましたが、１回ごとのyの測定は誤差を求めることが出来ます。
具体的には、スペクトル測定を行っており、バックグラウンド部分の標準偏差を誤差と考えています。
ですので、最小２乗と最小カイ２乗は同じものになって、
全くご指摘の通りで、随分間抜けな聞き方をしてしまいました。
最尤法も、測定誤差は正規分布に従いますので、これも同じものになるのだと思います。